исследовать функцию и построить график онлайн

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
Исследовать функцию -- значит определить её область определния, множество значений; чётность/нечётность; нули, области знакопостоянства, критические точки, области возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, возможные асимптоты, оси и центры симметрии и построить график.
Обозначим f(x)=(8x^3+1)/x = 8x^2 + 1/x
1. Область определения: x не равно 0
2. Область значений: y -- любое (см. п. 11).
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной (первое слагаемое в сумме 8x^2 + 1/x чётное, второе -- нечётное) .
4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули.
x=0 => f(x) не определена
f(x)=0 => x=-1/2
5. Области знакопостоянства
Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки
Нуль (простой): x=-1/2; критическая точка x=0
Двигаемся справа налево по числовой оси:
при x>0 y>0
при -1/2<x<0>0
6. Критические точки, точки экстремума, области возрастания и убывания.
f(x) -- гладкая функция на всей числовой оси, за исключением критической точки x=0
f'(x) = 16x-1/x^2 = (16x^3-1)/x^2
f'(x)=0 => x=1/(2^(4/3))
Двигаемся по оси х справа налево:
x>1/(2^(4/3)) => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает
0<x<1/(2^(4/3))> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
x<0 => f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает
(при переходе через 0 знак f'(x) не изменяется) .
При переходе через x=1/(2^(4/3)) f'(x) меняет знак с "-" на "+" => имеем локальный минимум y=3*2^(1/3)
7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.
f''(x) = 16 + 2/x^3 = 2 (8x^3+1)/x^3
f''(x)=0 => x=-1/2
f''(x)=2f(x)/x^2) => области знакопостоянства f''(x) и f(x) совпадаютж см. п. 5
при x>0 f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
при -1/2<x<0> f(x) выпукла вверх
при x<-1/2 f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
x=-1/2 -- точка перегиба; y=0
8. Возможные асимптоты.
Вертикальная: ось y (x=0). При x, стремящемся к 0 сверху/снизу, f(x) стремится соответственно к плюс/минус бесконечности.
Горизонтальных нет, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует конечного предела f(x).
Наклонных нет, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует конечного предела f(x)/x
При x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, график f(x) приближается к параболе y=8x^2 соответственно сверху/снизу
9. Симметричность графика.
Осей и центров симметрии нет.
10. Собственно график (см. рис) .
11. количество решений уравнения f(x)=y в зависимости от y.
Из графика видно, что решения существуют при дюбом y'
y>3*2^(1/3) => три решения (x1<-1/2^(1/3)); 0<x2<1/(2^(4/3));>1/(2^(4/3))
y=3*2^(1/3) => два решения (x1=-1/2^(1/3)); x2=1/(2^(4/3)) -- двойной корень (для получения x1 нужно решить прстое уравнение)
y<3*2^(1/3) => одно решение -1/2^(1/3))<x<0>