исследовать методами дифференциального исчисления и построить график

Ответ от Михаил Ужов[гуру]
Есть схема исследования функции. 1. Ищем область определения. х-3≠0; х≠3; (-∞;3)∪(3;+∞)2. Корни. х²-5=0; х₁=-√5; х₂=√53. Экстремумы. Для поиска экстремумов ищем первую производную: y'=(2x(x-3)-(x²-5))/(x-3)²=(2x²-6x-x²+5)/(x-3)²=(x²-6x+5)/(x-3)²
Нас интересуют точки, где производная равна нулю: (x²-6x+5)/(x-3)²=0; x²-6x+5=0; x=3±√(9-5)=3±2. x₁=1; x₂=5у (1)=2; у (5)=04. Ищем вторую производную. y''=((2x-6)(x-3)²-2(x²-6x+5)(x-3))/(x-3)⁴=(2((x-3)²-(x²-6x+5))/(x-3)³=2/(x-3)³Сразу видим, что вторая производная нигде не равна нулю, следовательно нет точек перегиба. Проверяем знак второй производной в точках х₁ и х₂: у''(1)=2/(1-3)³=-1/4<0 - максимум, у''(5)=2/(5-3)³=1/4>0 - минимум. 5. Проверяем поведение функции на бесконечности: lim[x->-∞](x²-5)/(x-3)=-∞ - неограниченно убываетlim[x->+∞](x²-5)/(x-3)=+∞ - неограниченно возрастает. 6. Поведение у точки разрыва. lim[x->3-0](x²-5)/(x-3)=-∞. lim[x->+∞](x²-5)/(x-3)=+∞. Прямая х=3 - вертикальная асимптота. 7. Проверяем наличие наклонных асимптот y=kx+blim[x->±∞]y/x=lim[x->±∞](x²-5)/(x²-3x)=1. k=1lim[x->±∞](y-kx)=lim[x->±∞](((x²-5)/(x-3))-x)=lim[x->±∞]((3x-5)/(x-3))=3Уравнение наклонной асимптоты у=х+3Остаётся всё это нарисовать. Я тебе в программе картинку нарисую.

Михаил Ужов
Искусственный Интеллект
(155319)
В Ворде - «вставить формулу»