из непрерывности функции следует

Ответ от тётя Мотя[гуру]
Теорема (дифференцируемость и непрерывность).
Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что limD x® 0D y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.
Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 4.
Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода) , то такая функция называется кусочно гладкой.
Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.
Если функция y=y(x) дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.
Справедливость утверждения следует из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0, а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.
Обратное утверждение не верно.
Например, функция y=|x| непрерывна в точкеx=0, но не дифференцируема в этой точке.
Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непр