к 0

Ответ от Георгий Зотиков[гуру]
Чтобы найти этот предел, используем метод замены на эквивалентные бесконечно малые. При x стремящемся к нулю функция arctg(3x) эквивалентна своему аргументу, то есть 3x. Это следует из первого замечательного предела или из таблицы эквивалентных бесконечно малых величин. Подставляем эту замену в исходное выражение: вместо arctg(3x) пишем 3x. Получаем предел отношения 3x к 4x при x стремящемся к нулю. Переменную x можно сократить, так как она присутствует и в числителе, и в знаменателе. После сокращения остаётся дробь 3/4, которая не зависит от x. Таким образом, предел равен 3/4. Этот метод работает для многих тригонометрических и обратных тригонометрических функций при стремлении аргумента к нулю.