Как найти углы по сторонам треугольника
Автор Елизавета Озеранская задал вопрос в разделе Домашние задания
как найти угол треугольника если известны 3 стороны и получил лучший ответ
Ответ от Артём Параев[эксперт]
Пусть задан треугольник со сторонами a, b и с. При этом сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны, то есть a+b>c, b+c>a и a+c>b. И необходимо найти градусную меру всех углов этого треугольника. Пусть угол между сторонами a и b обозначен как α, угол между b и c как β, а угол между c и a как γ.
Теорема косинусов звучит так: квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его сторон минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними. То есть составьте три равенства: a²=b²+c²−2×b×c×cos(β); b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ); c²=a²+b²−2×a×b×cos(α).
Из полученных равенств выразите косинусы углов: cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c); cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c); cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b). Теперь, когда известны косинусы углов треугольника, чтобы найти сами углы воспользуйтесь таблицами Брадиса или возьмите из этих выражений арккосинусы: β=arccos(cos(β)); γ=arccos(cos(γ)); α=arccos(cos(α)).
Например, пусть a=3, b=7, c=6. Тогда cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°; cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°; cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°.
Эту же задачу можно решить другим способом через площадь треугольника. Сначала найдите полупериметр треугольника по формуле p=(a+b+c)÷2. Затем посчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=√(p×(p−a)×(p−b)×(p−c)), то есть площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра и каждой из сторон треугольника.
С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Получается S=0,5×a×b×sin(α)=0,5×b×c×sin(β)=0,5×a×c×sin(γ). Теперь из этой формулы выразите синусы углов и подставьте полученное в 5 шаге значение площади треугольника: sin(α)=2×S÷(a×b); sin(β)=2×S÷(b×c); sin(γ)=2×S÷(a×c). Таким образом, зная синусы углов, чтобы найти градусную меру, используйте таблицы Брадиса или посчитайте арксинусы этих выражений: β=arccsin(sin(β)); γ=arcsin(sin(γ)); α=arcsin(sin(α)).
Например, пусть дан такой же треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. Полупериметр равен p=(3+7+6)÷2=8, площадь S=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5. Тогда sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°; sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°; sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°.
Как найти длину медиианы в треугольнике ???
Медиана треугольника - это отрезок, проведенный из любой его вершины к противоположной стороне, при
подробнее...
Как найти гипотенузу НЕ прямоугольного треугольника зная длину катетов и угол между катетом и гипотенузой?
во-первых, тогда это просто стороны, а не катет и гипотенуза.. а дальше сейчас напишу. .
через
подробнее...
Как найти площадь параллелограмма?
Половина параллелограмма образовывается основанием = 12, боковой стороной = 5 и диагональю = 13.
подробнее...
Как определяют возраст рыб?
Определение возраста рыб по чешуе
Рыба растет в течение года неравномерно. Эта неравномерность
подробнее...
Как найти радиус вписанной в треугольник окружности?
Вписанной в треугольник называют окружность, которая касается всех трех его сторон. Такая
подробнее...
Как найти радиус вписанной в треугольник окружности?
Вписанной в треугольник называют окружность, которая касается всех трех его сторон. Такая
подробнее...
Как найти углы прямоугольного треугольника, если известны стороны?
через синус косинус тангенс
В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен
подробнее...
Как найти углы равнобедренного треугольника если известны стороны?
проводишь высоту получается два прямоугольных треугольника.... в одном из них находишь угол через
подробнее...
Разность векторов
Задачи могут быть самые разные, в зависимости от специфики задачи удобен тот или иной способ.
подробнее...
Как найти синус угла в треугольнике? Не в прямоугольном, в любом
Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно использовать базовое определение
подробнее...
как найти стороны треугольника если известны 2 угла и сторона
По двум углам и стороне
Если известны величины двух углов и длина одной сторон
подробнее...
Средняя линия треугольника. Как найти среднюю линию, зная 3 стороны треугольника?
Через середины двух боковых сторон проводится прямая, параллельная третьей ( основанию). Отрезок,
подробнее...
Как найти синусы,косинусы,тангенсы и катангенсы углов????
Традиционно в школе впервые знакомятся с синусом, косинусом и тангенсом острого угла в 8-м классе.
подробнее...
как найти высоту треугольника, если известны стороны треугольника, но не известна площадь?
1
Первый способ найти высоту – через площадь треугольника. Площадь треугольника вычисляется
подробнее...