как найти углы в треугольнике



Как найти углы по сторонам треугольника

Автор Елизавета Озеранская задал вопрос в разделе Домашние задания

как найти угол треугольника если известны 3 стороны и получил лучший ответ

Ответ от Артём Параев[эксперт]
Пусть задан треугольник со сторонами a, b и с. При этом сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны, то есть a+b>c, b+c>a и a+c>b. И необходимо найти градусную меру всех углов этого треугольника. Пусть угол между сторонами a и b обозначен как α, угол между b и c как β, а угол между c и a как γ.
Теорема косинусов звучит так: квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его сторон минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними. То есть составьте три равенства: a²=b²+c²−2×b×c×cos(β); b²=a²+c²−2×a×c×cos(γ); c²=a²+b²−2×a×b×cos(α).
Из полученных равенств выразите косинусы углов: cos(β)=(b²+c²−a²)÷(2×b×c); cos(γ)=(a²+c²−b²)÷(2×a×c); cos(α)=(a²+b²−c²)÷(2×a×b). Теперь, когда известны косинусы углов треугольника, чтобы найти сами углы воспользуйтесь таблицами Брадиса или возьмите из этих выражений арккосинусы: β=arccos(cos(β)); γ=arccos(cos(γ)); α=arccos(cos(α)).
Например, пусть a=3, b=7, c=6. Тогда cos(α)=(3²+7²−6²)÷(2×3×7)=11/21 и α≈58,4°; cos(β)=(7²+6²−3²)÷(2×7×6)=19/21 и β≈25,2°; cos(γ)=(3²+6²−7²)÷(2×3×6)=-1/9 и γ≈96,4°.
Эту же задачу можно решить другим способом через площадь треугольника. Сначала найдите полупериметр треугольника по формуле p=(a+b+c)÷2. Затем посчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=√(p×(p−a)×(p−b)×(p−c)), то есть площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра и каждой из сторон треугольника.
С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Получается S=0,5×a×b×sin(α)=0,5×b×c×sin(β)=0,5×a×c×sin(γ). Теперь из этой формулы выразите синусы углов и подставьте полученное в 5 шаге значение площади треугольника: sin(α)=2×S÷(a×b); sin(β)=2×S÷(b×c); sin(γ)=2×S÷(a×c). Таким образом, зная синусы углов, чтобы найти градусную меру, используйте таблицы Брадиса или посчитайте арксинусы этих выражений: β=arccsin(sin(β)); γ=arcsin(sin(γ)); α=arcsin(sin(α)).
Например, пусть дан такой же треугольник со сторонами a=3, b=7, c=6. Полупериметр равен p=(3+7+6)÷2=8, площадь S=√(8×(8−3)×(8−7)×(8−6))=4√5. Тогда sin(α)=2×4√5÷(3×7)=8√5/21 и α≈58,4°; sin(β)=2×4√5÷(7×6)=4√5/21 и β≈25,2°; sin(γ)=2×4√5÷(3×6)=4√5/9 и γ≈96,4°.

Ответ от Ђф 13[активный]

Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: как найти угол треугольника если известны 3 стороны

Как найти длину медиианы в треугольнике ???
Медиана треугольника - это отрезок, проведенный из любой его вершины к противоположной стороне, при
подробнее...
спросили в Уголь
Как найти гипотенузу НЕ прямоугольного треугольника зная длину катетов и угол между катетом и гипотенузой?
во-первых, тогда это просто стороны, а не катет и гипотенуза.. а дальше сейчас напишу. .
через
подробнее...

Как найти площадь параллелограмма?
Половина параллелограмма образовывается основанием = 12, боковой стороной = 5 и диагональю = 13.
подробнее...

Как определяют возраст рыб?
Определение возраста рыб по чешуе
Рыба растет в течение года неравномерно. Эта неравномерность
подробнее...

Как найти радиус вписанной в треугольник окружности?
Вписанной в треугольник называют окружность, которая касается всех трех его сторон. Такая
подробнее...
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот еще темы с похожими вопросами:
спросили в Другое
Как найти радиус вписанной в треугольник окружности?
Вписанной в треугольник называют окружность, которая касается всех трех его сторон. Такая
подробнее...
спросили в Углы
Как найти углы прямоугольного треугольника, если известны стороны?
через синус косинус тангенс

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен
подробнее...
спросили в Другое Углы
Как найти углы равнобедренного треугольника если известны стороны?
проводишь высоту получается два прямоугольных треугольника.... в одном из них находишь угол через
подробнее...

Разность векторов
Задачи могут быть самые разные, в зависимости от специфики задачи удобен тот или иной способ.подробнее...
спросили в Углы
Как найти синус угла в треугольнике? Не в прямоугольном, в любом
Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно использовать базовое определение
подробнее...
спросили в Углы
как найти стороны треугольника если известны 2 угла и сторона
По двум углам и стороне

Если известны величины двух углов и длина одной сторон
подробнее...
спросили в Линяет
Средняя линия треугольника. Как найти среднюю линию, зная 3 стороны треугольника?
Через середины двух боковых сторон проводится прямая, параллельная третьей ( основанию). Отрезок,
подробнее...
спросили в Углы
Как найти синусы,косинусы,тангенсы и катангенсы углов????
Традиционно в школе впервые знакомятся с синусом, косинусом и тангенсом острого угла в 8-м классе.
подробнее...
спросили в Высота
как найти высоту треугольника, если известны стороны треугольника, но не известна площадь?
1
Первый способ найти высоту – через площадь треугольника. Площадь треугольника вычисляется
подробнее...
Решение треугольников на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Решение треугольников
Росжелдорпроект на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Росжелдорпроект
Роскомнадзор на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Роскомнадзор
Роскосмос на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Роскосмос
 

Ответить на вопрос:

Имя*

E-mail:*

Текст ответа:*
Проверочный код(введите 22):*