Автор Александр Вершинин задал вопрос в разделе Домашние задания
выведите формулу площади ромба с пояснением и получил лучший ответ
Ответ от Ира Квасникова[активный]
О, да здесь она не одна будет. Но вот две основные:
1) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Так как ромб состоит из четырех прямоугольных треугольников, то его площадь равна сумме площадей этих треугольников.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Допустим, у нас ромб ABCD. Диагонали его (AC и BD) пересекаются в точке О.
Тогда: S = 0,5*AO*BO + 0,5*BO*OC + 0,5*OC*OD + 0,5*OD*OA
Вынесем 0,5 за скобку и сделаем ещё группировку внутри скобок:
S = 0,5*(OB*(OA+OC) + OD*(OA+OC))
OA+OC=AC
Значит: S = 0,5*(AC*(OB+OD))
OB+OD=BD
то есть, S = 0,5*AC*BD
Что и требовалось доказать.
2) Площадь ромба равна полу периметру, умноженному на радиус вписанной окружности.
S=pr
Опять возьмем ромб ABCD. Так как все стороны равны, то заменим из просто на переменную a. Впишем в этот ромб окружность с радиусом r.
И, конечно, проведем диагонали. Вновь видим, что площадь ромба состоит из суммы площадей четырех прямоугольных треугольников.
В одном каком-нибудь треугольнике опустим из точки пересечения диагоналей (то бишь вершины прямого угла) на гипотенузу (она же сторона ромба) перпендикуляр. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Значит, площадь одного такого треугольника равна S = 0,5*a*r
А таких треугольников 4.
Площадь ромба S = 4*a*r / 2
4*a = P, то есть, периметр.
P/2 = p, то есть, полу периметр.
Замещаем и получаем: S = pr
Александр, любой ромб - это два треугольника. Значит площадь ромба равна площади двух треугольников!
для вычисления площади ромба пригодны формулы площади параллелограмма. но есть особая формула - через половину произведения диагоналей.
доказательство держится на том. что взаимно-перпендикулярные диагонали ромба не только в точке пересечения делятся пополам, но и являются биссектрисами.
рассмотрев получившиеся при пересечении диагоналей 4равных ( по катетам)
прямоугольных треугольника и воспользовавшись свойством площадей - площадь фигуры равна сумме площадей фигур, составляющих ее. получаем:
S= 4*d12*d22*12=d1*d2/2
удалось понятно написать?