решение квадратных неравенств

Ответ от Ёветлана[гуру]
Квадратным неравенством называется неравенство вида ax2 + bx + c > 0, где вместо знака > может быть другой знак неравенства: ³ , < или ³ . Для решения квадратного неравенства надо представить себе расположение графика функции y = ax2 + bx + c относительно оси Ox. Возможны два основных случая – график совсем не пересекает ось Ox (трехчлен не имеет корней) или пересекает ее в двух точках (трехчлен имеет два корня) . Исключительный случай, когда график касается оси Ox (трехчлен имеет один корень) мы рассмотрим отдельно. Рассмотрим сначала случай, когда график не пересекает оси Ox. В этом случае квадратичная функция сохраняет постоянный знак на всей числовой оси, причем этот знак совпадает со знаком старшего коэффициента а. Поэтому решением квадратного неравенства в этом случае будут либо все вещественные числа, либо пустое множество (не будет решений вовсе) . Теперь рассмотрим случай, когда график квадратичной функции пересекает ось Ox в двух точках, то есть когда квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня x1 и x2 (x1 < x2). В этом случае функция y = ax2 + bx + c между корнями, то есть в промежутке (x1; x2) сохраняет один знак (а именно, знак, противоположный знаку а) , а “вне корней”, то есть на двух промежутках (–¥ ; x1) и (x2; +¥ ) имеет противоположный знак (сейчас он совпадает со знаком старшего коэффициента) . Случай, когда график квадратичной функции касается оси Ox, то есть когда уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет единственный корень, на самом деле, мало отличается от первого случая, когда корней совсем нет. Действительно, в этом случае квадратичная функция сохраняет постоянный знак во всех точках, кроме единственной – точки x = –, где она обращается в нуль. При записи ответа надо не забыть учесть эту исключительную точку x = –. Составим алгоритм решения квадратного неравенства, в левой части которого стоит квадратичная функция y = f(x), где f(x) = ax2 + bx + c, а само неравенство имеет один из четырех видов: y > 0, y ³ 0, y < 0 или y £ 0. 1. Определяем, сколько корней имеет трехчлен ax2 + bx + c. Это можно сделать по знаку его дискриминанта D = b2 – 4ac: а) D > 0 Þ два корня, б) D < 0 Þ нет корней, в) D = 0 Þ один корень. 2. В случаях б) и в) сразу записываем ответ. Он может выглядеть так: R (решениями являются все числа) ; Æ (решений нет) ; x = – (неравенство выполняется в единственной точке) . 3. В случае а) находим корни x1 и x2 (x1 < x2) и записываем ответ. Он может выглядеть для строгих неравенств так: (–¥ ; x1) È (x2; +¥ ); (x1; x2). В случае нестрогого неравенства в ответ надо включить точки x1 и x2: (–¥ ; x1] È [x2; +¥ ); [x1; x2]. Заметим, что предложенный алгоритм решения квадратных неравенств удобен тогда, когда само неравенство записано в стандартном виде (типа ax2 + bx + c > 0). Однако иногда можно решать неравенства, не приводя их к стандартному виду. Такие случаи мы рассмотрим среди примеров. В оглавлениеhttp://unimath.ru/?mode=0&idstructure=50110