метод гаусса

Ответ от Андрей[гуру]
Метод Гаусса довольно прост. Особенно для решения системы из трех уравнений с тремя неизвестными. Давай разберем твой пример по-порядку. Суть метода в проведении ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, которые уберут из второго уравнения x, а из третьего x и y. Вот тогда получится та самая ступенчатая форма.
Итак, сначала убираем x из второго уравнения. Для этого первую строчку умножаем на -2/3. Получаем -2х - 4/3у -2/3z = -10/3. Теперь складываем то, что получилось со второй строкой и записываем результат на место второго уравнения. Второе уравнение примет вид: 5/3у + 1/3z = -7/3. Теперь убираем х из третьего уравнения. Для этого нам тоже нужно умножить первое на -2/3 (поскольку третье уравнение тоже начинается с 2х) и результат сложить с третьим. Получим следующее: -1/3у +1/3z = 23/3
Мы пришли к первой ступеньке. Теперь наша система уравнений выглядит так:
3х + 2у + z = 5
5/3у + 1/3z = -7/3
-1/3у +1/3z = 23/3
Во втором и третьем уравнении переменной х уже нет. Теперь уберем у из третьего уравнения.
Для этого второе уравнение нашей новой системы умножим на 1/5. Получим: 1/3у + 1/15z = -7/15. Складываем с третьим уравнением и результат пишем в третью строку. Получим: 6/15z = 108/15. Упрощаем выражение и получаем 0,4z = 7,2
Система приведена к треугольному виду. И выглядит она теперь так:
3х + 2у + z = 5
5/3у + 1/3z = -7/3
0,4z = 7,2
Дальше все элементарно. Из третьего уравнения находим z. z=18
Подставляем z во второе уравнение и находим у.
5/3у + 6 = -7/3
5/3у = - 25/3
у = -5
Теперь подставляем z и у в первое уравнение и находим х.
3х -10 +18 = 5
3х = -3
х = -1
Вот и все.. . )) Ответ: х = -1, у = -5, z = 18
Этот способ настолько прост и удобен при решении небольших систем, что его преподавали даже в военном училище. Хотя, зачем он был нужен нам, саперам, для меня до сих пор загадка.. . ))