Метод гаусса примеры
Автор Ёветка Букина задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Высшая математика.МЕТОД ГАУССА! ОЧЕНЬ НУЖНА ПОМОЩЬ! и получил лучший ответ
Ответ от Андрей[гуру]
Метод Гаусса довольно прост. Особенно для решения системы из трех уравнений с тремя неизвестными. Давай разберем твой пример по-порядку. Суть метода в проведении ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, которые уберут из второго уравнения x, а из третьего x и y. Вот тогда получится та самая ступенчатая форма.
Итак, сначала убираем x из второго уравнения. Для этого первую строчку умножаем на -2/3. Получаем -2х - 4/3у -2/3z = -10/3. Теперь складываем то, что получилось со второй строкой и записываем результат на место второго уравнения. Второе уравнение примет вид: 5/3у + 1/3z = -7/3. Теперь убираем х из третьего уравнения. Для этого нам тоже нужно умножить первое на -2/3 (поскольку третье уравнение тоже начинается с 2х) и результат сложить с третьим. Получим следующее: -1/3у +1/3z = 23/3
Мы пришли к первой ступеньке. Теперь наша система уравнений выглядит так:
3х + 2у + z = 5
5/3у + 1/3z = -7/3
-1/3у +1/3z = 23/3
Во втором и третьем уравнении переменной х уже нет. Теперь уберем у из третьего уравнения.
Для этого второе уравнение нашей новой системы умножим на 1/5. Получим: 1/3у + 1/15z = -7/15. Складываем с третьим уравнением и результат пишем в третью строку. Получим: 6/15z = 108/15. Упрощаем выражение и получаем 0,4z = 7,2
Система приведена к треугольному виду. И выглядит она теперь так:
3х + 2у + z = 5
5/3у + 1/3z = -7/3
0,4z = 7,2
Дальше все элементарно. Из третьего уравнения находим z. z=18
Подставляем z во второе уравнение и находим у.
5/3у + 6 = -7/3
5/3у = - 25/3
у = -5
Теперь подставляем z и у в первое уравнение и находим х.
3х -10 +18 = 5
3х = -3
х = -1
Вот и все.. . )) Ответ: х = -1, у = -5, z = 18
Этот способ настолько прост и удобен при решении небольших систем, что его преподавали даже в военном училище. Хотя, зачем он был нужен нам, саперам, для меня до сих пор загадка.. . ))
могу помочь с решением. пиши в агент
могу объяснить прямо на твоем примере стучи в асю 299832259
Тут все просто.. . переписываете числовые значения.. . ой. . ну цифры) вот, и потом приводите к нулю. . например прибавить или отнять что то между первыми цифрами первой строки и первыми цифрами второй строки.. . вобщем цифры друг под другом приводите к нулю... а затем у вас останется в одной строке 2 числовых значения. . это будут y и z... и через них высчитываете х
Вам Андрей ответил так подробно, что больше и добавить нечего, разве, что делайте проверку полученных значений :))
Андрей объяснил всё замечательно, только я бы рекомендовал НЕ делить, а умножать, тогда дроби могут появиться лишь в последний момент. Итак:
Из 1-й строки вычитаем 2-ю и получим новую 1-ю: (1, -1, 0; 4), затем из 2-й вычитаем 3-ю и получаем новую 2-ю: (0, 2, 0; -10); теперь из 3-й вычитаем удвоенную (новую) 1-ю и получаем новую 3-ю: (0, 3, 1; 3).
2-ю строку умножим на 3, а 3-ю на 2, и вычтем из 3-й вторую: (0, 0, 2; 36). Двойку можно сократить: (0, 0, 1; 18). Значит, z=18 (если я не просчитался! ) . Из 2-уравнения сразу находится у, а из 1-го х.
.
Матричная запись системы - только коэффициенты. Решение системы матричным методом = найти обратную матрицу и тогда столбец неизвестных будет равет обратная умножить на столбец свободных членов.
В методе Гаусса -вычитаем строки (соответствующие коэффициенты строк) , умноженные на подходящий кожффициент, так, чтобы получились нули под диагональю. Начинаем с первой строки и первого коэффициента, затем смещаемся вниз по диагонали.
Если нельзя выполнить, как в примере, то меняем местами строки. Если все элементы = 0, то матрица вырожденная (ранг меньше порядка) . Тогда решений или бесконечное количество (нули в столбце свободных членов) или нет ни одного (св члены ненулевые) .
Обратный ход - стараемся получить нули выше главной диагонали.
В результате получится диагональная матрица, что в обычной запмсм соответствует выражению вида "одна переменнаф"= "свободному члену"
В Вашем примере удобно для расчетов переставить столбцы (z- на первое место) и третью строку поставить первой.
В конце "прямого хода" записан соответствующий вид в обычной записи.
мне надо с помощью Крамора????