метод неопределенных коэффициентов дифференциальные уравнения

Ответ от Alexander Reiser[гуру]
Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядкаy(n) + a1(x) y(n-1) + .+an-1 (x) y\' + an(x) y = f(x), где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..an-1(x), an(x), f(x) — известные, непрерывные, справедливо: 1) если y1(x) и y2(x) — два решения неоднородного уравнения, то функцияy(x) = y1(x) - y2(x) — решение соответствующего однородного уравнения;2) если y1(x) решение неоднородного уравнения, а y2(x) — решение соответствующего однородного уравнения, то функцияy(x) = y1(x) + y2(x) — решение неоднородного уравнения;3) если y1(x), y2(x), ..yn(x) — n линейно независимых решений однородного уравнения, а yч (x) — произвольное решение неоднородного уравнения, то для любых начальных значений x0, y0, y0,1, ..y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..c*n, что решение y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + .+c*n yn (x) + yч (x)удовлетворяет при x = x0 начальным условиямy*(x0)=y0, (y*)\'(x0)=y0,1 , .(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1. Выражение y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + .+cn yn(x) + yч (x) называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка. Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), где Pk(x), Qm(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора. Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем. Искомое решение уравнения записывается в виде:(Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, где Pr(x), Qr(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентамиpr, pr-1, ..p1, p0, qr, qr-1, ..q1, q0. Сомножитель xs называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть кореньl =a ± ib кратности s.Т. е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель xs. Если же такого совпадения нет (s=0), то резонансный сомножитель отсутствует.Подставив выражение для частного решения в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны. Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) с одинаковыми степенями t. Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.