найти дифференциал онлайн

Ответ от Алексей Лукьянов[гуру]
z=x^4*y^5 + exp(2*x-y)
1.Вычисляем первые производные.
dz/dx = 4x^3*y^5 + 2exp(2*x-y)
dz/dy = 5x^4*y^4 - exp(2*x-y)
2. Вычисляем вторые производные.
d^2z/dx^2 = 12x^2*y^5 + 4exp(2*x-y),
d^2z/dxdy = d^2z/dydx = 20x^3*y^4 - 2exp(2*x-y),
d^2z/dy2 = 20x^4*y^3 + exp(2*x-y).
3. Вычисляем вторые производные в точке М (2,1):
A = (d^2z/dx^2) = 48 + 4exp(4 - 1) = 48 + 4exp(3),
B = (d^2z/dxdy) = 160 - 2exp(4 - 1) = 160 - 2exp(3),
C = (d^2z/dy^2) = 320 + exp(4 - 1) = 320 + exp(3).
4.. Записываем формулу для второго дифференциала и считаем его в точке М (2,1):
d^2z = dx^2(d^2z/dx^2) + 2dxdy(d^2z/dxdy) + dy^2(d^2z/dy^2) = Adx^2 + 2Bdxdy + Cdy^2 = [48 + 4exp(3)]dx^2 + [320 - 4exp(3)]dxdy + [320 + exp(3)]dy^2.
Ответ. d^2z = [48 + 4exp(3)]dx^2 + [320 - 4exp(3)]dxdy + [320 + exp(3)]dy^2.