найти область сходимости

Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Признак Даламбера (для абсолютной сходимости ряда) :
предел |a(n+1)/a(n)| при n--> infinity
должен быть меньше 1. Здесь |a(n+1)/a(n)| :
|x^(n+1)/x^n|*|tg(x/2^(n+1))/tg(x/2^n)|=|x|*A,
где A=|tg(x/2^(n+1))/tg(x/2^n)|.
Как известно, tg b эквивалентен b при b --> 0, поэтому:
lim A=lim|x/2^(n+1)/(x/2^n)|=lim 2^n/2^(n+1)=1/2.
Условие сходимости: 1/2|x| < 1, и получаем: |x| < 2.
Легко видеть, что при х=-2 и х=2 сходимости нет.
Комментарий: ответ Натальи неверный; к тому же этот ряд НЕ степенной, а более общий функциональный.