олимпиада по математике 9 класс

Ответ от Hippie[гуру]
1.
Если предполагать, что числа не могут начинаться с нуля, то ответ единственный:
10001*1111=11111111.
Т. к. произведение заканчивается на 1, то последняя цифра первого множителя ---1. Запишем этот множитель в виде ABCD1. Если бы D=1, то предпоследняя цифра произведения равнялась бы 2, следовательно D=0. Аналогично получаем, что С=0 и В=0.
В то же время, предполагая что число не может начинаться на 0, получаем А=1.
(Замечание: если допускать, что числа могут начинаться с нуля, то возможен также ответ 00001*1111=00001111.)
-----------------------------------------------------
2.
Петя может снять все 5000.
Например таким способом:
снимает 12 раз по 400 (на счёте остаётся 200);
кладёт 20 раз по 198 (на счёте остаётся 4160);
снимает 10 раз по 400 (на счёте остаётся 160);
кладёт 20 раз по 198 (на счёте остаётся 4120);
снимает 10 раз по 400 (на счёте остаётся 120);
кладёт 20 раз по 198 (на счёте остаётся 4080);
снимает 10 раз по 400 (на счёте остаётся 80);
кладёт 20 раз по 198 (на счёте остаётся 4040);
снимает 10 раз по 400 (на счёте остаётся 40);
кладёт 20 раз по 198 (на счёте остаётся 4000);
снимает 10 раз по 400 (на счёте не остаётся ничего) .
-----------------------------------------------------
3.
Проводим окружность с центром в вершине угла.
Засечкой циркуля, равной хорде в 19 градусов, откладываем на окружности угол 19 градусов ещё 18 раз. Получаем угол 19*19=361 градус :-), т. е. угол в 1 градус.
Отложив угол в 1 градус ещё 17 раз получим искомое деление.
-----------------------------------------------------
4.
Число мальчиков уменьшилось.
Пусть вначале количество всех учащихся равнялось х.
Мальчиков среди них было 0.5*х.
В конце количество учащихся стало равным 90% от х, т. е. 0.9х.
А количество мальчиков стало равным 0.55*0.9х=0.495х < 0.5х.