площадь треугольника

Ответ от B B[новичек]
Треугольник — плоская геометрическая фигура, ограниченная тремя отрезками попарно пересекающихся прямых. Точки пересечения называются вершинами треуголиника и обычно обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C. Величины углов при вершинах, по которыми пересекаются прямые принято обозначать соответствующими греческими буквами: α, β, γ. Противолежащие углам отрезки прямых, ограничивающие треугольник, называются ребрами (сторонами) треугольника и обозначаются соответственно a, b, c.
Ниже приведены формулы по которым можно найти площадь S треугольника с вершинами A, B, C, величинами соотвествующих углов α, β, γ и противолежащими им сторонами a, b, c:
S = a•b•sin(γ)/2 = a•c•sin(β)/2 = b•c•sin(α)/2,
S = a•а•sin(β)•sin(γ)/(2•sin(β + γ),
S = √(p•(p – a)•(p – b)•(p – c)) (формула Герона) ,
где √(...) — обозначение квадратного корня, p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.
S = a•ha/2 = b•hb/2 = c•hc/2,
где ha — высота, опущенная из вершины A на сторону a, hb — из вершины B на сторону b, hc — из вершины C на сторону c.
S = r•p,
где r — радиус вписанной в треугольник окружности, p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.
S = a•b•c/4R,
где R — радиус окружности описанной вокруг треугольника.
Если заданы декартовы координаты точек на плоскости A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то площадь S можно найти по следующей формуле (через определитель второго порядка для матрицы разниц координат) :
S = |(x1 – x3)•(y2 – y3) – (x2 – x3)•(y1 – y3)|/2,
где |...| — обозначение модуля. Эта формула получена из выражения для векторного произведения двух векторов на плоскости, которое по абсолютной величине равно значению определителя, составленного из их координат.
Для специальных видов треугольников существуют дополнительные, в том числе более простые формулы для вычисления площади:
Как вычислить площадь прямоугольного треугольника?
Прямоугольным называется треугольник, один из углов которого составляет 90° (является прямым) . Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, прямой угол в треугольнике может быть только один.
Ниже приводятся формулы формулы вычисления площади S, специфическикие для прямоугольных треугольников. Обозначения: с — длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу) , a, b — длины катетов (сторон, прилежащих к прямому углу) , α, β — величины противолежащих этим катетам углов (α + β = 90°).
По двум катетам:
S = a•b/2
По катету и противолежащему углу:
S = a•а/2tg(α) = b•b/2tg(β)
По катету и прилежащему острому углу:
S = a•a•tg(β)/2 = b•b•tg(α)/2
По гипотенузе и острому углу:
S = c•c•sin(α)•cos(α)/2 = c•c•sin(β)•cos(β)/2 = c•c•sin(α)•sin(β)/2
По гипотенузе и катету:
S = a•√(c•c – a•a)/2 = b•√(c•c – b•b)/2.
Как вычислить площадь равнобедренного треугольника?
Равнобедренным называют треугольник, имеющий две равные по величине стороны. Две равные стороны называют боковыми, третью — основанием. Частным случаем равнобедренного труегольника является равносторонний или правильный треугольник, у которого основание равно боковым сторонам.
Введем обозначения:
a — боковая сторона равнобедренного треугольника;
с — основание равнобедренного треугольника;
h — высота равнобедренного треугольника, опущенная на его основание;
α — угол между основанием и боковой стороной;
γ — угол между боковыми сторонами.
Тогда площадь S равнобедренного треугольника можно найти по следующей основной формуле:
S = h•c/2.
Из этой формулы легко вывести другие:
S = (a•c/2)•cos(γ/2) = (a•c/2)•sin(α/2),
S = (с•c/2)/tg(γ/2) = (с•c/2)•tg(α/2),
S = a•a•sin(γ/2)•cos(γ/2) = a•a•sin(α/2)•cos(α/2).
Площадь по основанию и боковой стороне (без определения углов) можно вычислить по следующей формуле:
S = (c/2)•√(a•a – c•c/4).
Равносторонний треугольникS=a•a•√3/4
Источник: «В действительности все выглядит иначе, чем на самом деле» . (С) Станислав Ежи Лец