Виды правильных многогранников
Автор Niemand задал вопрос в разделе Естественные науки
Почему правильных многоугольников сколько угодно, а правильных многогранников всего пять? и получил лучший ответ
Ответ от Анатолий[гуру]
ссылка
Теорема 8.1.
Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.
Доказательство
Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.
Выясним, сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника. Если все его грани – правильные треугольники, то к каждой вершине могут прилегать не более пяти треугольников, так как иначе сумма плоских углов при этой вершине будет не менее 360°, что, как мы убедились, невозможно. Итак, если все грани правильного многогранника – правильные треугольники, то к каждой вершине прилегают три, четыре или пять треугольников. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что в каждой вершине правильного многогранника, грани которого – правильные четырехугольники и пятиугольники, сходятся ровно три ребра.
Докажем теперь, что существует только один многогранник заданного типа с фиксированной длиной ребра. Рассмотрим, например, случай, когда все грани – правильные пятиугольники. Предположим противное: пусть существует два многогранника, все грани которых – правильные пятиугольники со стороной a, а все двугранные углы в каждом многограннике равны между собой. Отметим, что необязательно все двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого многогранника: именно это мы сейчас и докажем.
Как мы показали, из каждой вершины каждого многогранника выходит три ребра. Пусть из вершины А одного многогранника выходят ребра AB, AC и AD, а из вершины A1 другого – ребра A1B1, A1C1 и A1D1. ABCD и A1B1C1D1 – правильные треугольные пирамиды, так как у них равны ребра, выходящие из вершин A и A1, и плоские углы при этих вершинах. Отсюда следует, что двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого. Значит, если мы совместим пирамиды ABCD и A1B1C1D1, то совместятся и сами многогранники. Значит, если существует правильный многогранник, все грани которого – правильные пятиугольники со стороной a, то такой многогранник единственный.
Аналогично рассматриваются остальные многогранники. В том, случае, когда все грани – треугольники и к каждой вершине примыкают четыре или пять треугольников, следует воспользоваться леммой 8.1. Из нее следует, что концы ребер, выходящих из одной вершины, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного четырех- и пятиугольника. Теорема доказана.
доказательство этого факта простое. по определению: правильный многогранник составляется из правильных многоугольников в каждой вершине сходится одинаковое число ребер. чтобы построение было возможным сумма сходящихся в одной точке плоских углов должна быть строго меньше 2pi (иначе многогранный угол не сомкнется) и этих углов должны быть минимум 3 (иначе многогранный угол будет вырожденным)
.) треугольники. угол при вершине = pi/3. n*pi/3 < 2pi => n=3..5
.) квадраты. угол при вершине = pi/2. n*pi/2 < 2pi => n=3
.) пятиугольники. угол при вершине 3pi/5. n*3pi/5 < 2pi => n=3
для шестиугольников и выше тройной угол при вершине не меньше 2pi поэтому выше перечислены все (5) возможные случаи.
может быть ваш вопрос "почему" подразумевает желание получить объяснение на пальцах. можно сказать так: условие правильности для многранника ОКАЗАЛОСЬ существенно жестче чем для многоугольника
Потому что мы живёт в трёхмерном мире. В четырёхмерном мире уже другие правила игры, и там число возможных вариантов становится другим.
Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.) , а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.) . Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. Что же они из себя представляют?
В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г. ) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.
Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг. ) в работе «Исследование о многогранниках» . В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).
