правило квантования

Ответ от Jess[гуру]
Квантование уравнения Власова-Эйнштейна.
10. Заметим сначала, что рассматриваемая нами функция Гамильтона вида (II.1) не есть гамильтониан в привычном смысле слова, так как это не функция энергии, ибо двойственная (сопряжённая) к ней переменная есть интервал, а не время. Из дальнейших рассмотрений станет ясно, что это массовая функция системы (впрочем, масса и энергия в известном смысле эквивалентны). Напомним, что соотношения между функцией Гамильтона (II.1) и интервалом такие же, как соотношения между обычным гамильтонианом (энергией системы) и временем .
Для обычного уравнения Власова квантовые аналоги строятся на основе функции Вигнера [4]. В криволинейных координатах вычисление функции Вигнера затруднительно, поэтому мы выберем иной способ, существенно использующий особенности гамильтонова формализма. Более подробно об этой и других трудностях, возникающих в подходе, связанном с функцией Вигнера, написано в работе [6]. Полное уравнение Власова-Эйнштейна хорошо квантуется, поскольку явно допускает гамильтонову трактовку. Следуя традиционной процедуре квантования гамильтоновых систем, получим квантовый аналог уравнения Власова-Эйнштейна.
Скобкам Пуассона двух функций в квантовом случае сопоставляется (с точностью до множителя, где - мнимая единица) коммутатор соответствующих операторов (принцип, известный как аксиома Дирака [7]). Заметим, что само по себе такое сопоставление ещё не задаёт правила квантования. Оно позволяет лишь получать коммутационные соотношения между операторами. В общем случае квантование скобок Пуассона рассматривается в монографии [7]. Там же затрагиваются некоторые аспекты построения квантовых аналогов уравнений типа Власова.
В качестве квантового гамильтониана, соответствующего функции Гамильтона (II.1), предлагается оператор, в координатном представлении имеющий вид:
где - постоянная Планка. Легко показать, что в пространстве Шварца финитных бесконечное число раз непрерывно дифференцируемых функций с рассматриваемым скалярным произведением этот оператор является эрмитовым и описывает, таким образом, некоторую наблюдаемую величину. Действительно, используя интегрирование по частям, получаем :
Нетрудно убедиться, что предлагаемый оператор удовлетворяет принципу соответствия. По существу сопоставление функции Гамильтона некоего оператора однозначно задаёт некоторое правило квантования. О прочих (более общих, в некотором смысле) правилах квантования написано ниже, в пункте IV.30.
Перейдём теперь к квантованию величины. Под оператором следует понимать статистический оператор фон Неймана [4], являющийся квантовым аналогом классической функции распределения. Для него справедливо уравнение
Уравнение (III.2) с квантовым гамильтонианом вида (III.1) представляет собой проквантованное уравнение (II.5).
Простейший из атомов, атом водорода явился своеобразным тест-объектом для теории Бора. Ко времени создания теории Бора атом водорода был хорошо изучен экспериментально. Он содержит единственный электрон. Ядром атома является протон – положительно заряженная частица, заряд которой равен по модулю заряду электрона, а масса в 1836 раз превышает массу электрона. Еще в начале XIX века были открыты дискретные спектральные линии в излучении атома водорода в видимой области (так называемый линейчатый спектр). Впоследствии закономерности, которым подчиняются длины волн (или частоты) линейчатого спектра, были хорошо изучены количественно (И. Бальмер, 1885 г.). Совокупность спектральных линий атома водорода в видимой части спектра была названа серией Бальмера. Позже аналогичные серии спектральных линий были обнаружены в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. В 1890 году И. Ридберг получил эмпирическую формулу для частот спектральных линий:
Для серии Бальмера m = 2, n = 3, 4, 5, ..Для ультрафиолетовой серии (серия Лаймана) m = 1, n = 2, 3, 4, ..Постоянная R в этой формуле называется постоянной