решение дифференциальных уравнений второго порядка

Ответ от Ўрик[гуру]
Характеристическое уравнение r²+4=0; r1=r2=±2i. Общее решение однородного уравнения: Y=C1•sin2x +C2•cos2х Общее решение – y=Y+Y1, где Y1 - частное решение заданного уравнения, которое ищется в виде y=asinx+bcosx. Тогда y’=acosx-bsinx, y”=-asinx-bcosx Подставляем полученные значения в исходное уравнение и находим а, b: -asinx-bcosx+4asinx+4bcosx=5cosx; 3a=0 => a=0 3b =5 => b=5/3. Тогда общее решение заданного уравнения: y=Y+Y1= C1•sin2x +C2•cos2х +(5/3)•cosX. Находим У’ и, подставляя заданные начальные условия, находим С1 и С2 для этих условий. у\'=2C1•cos2x-2C2•sin2x-(5/3)•sinx y(0)=C2+5/3=1 => C2=-2/3; y’(0)= 2C1=3; → C1=3/2. Подставляя найденные значения С1 и С2 в общее решение получаем искомое частное решение заданного уравнения получим y=(3/2)•sin2x-(2/3)•cos2х +(5/3)•cosX.