шар вписан в правильную четырехугольную пирамиду

Ответ от Mihail-Nor[гуру]
1) Изобразим сечение AEB пирамиды, проходящее через высоту пирамиды EH и среднюю линию AB основания пирамиды (то есть через среднюю линию квадрата). Это сечение делит пирамиду пополам:

AB=a, угол HAE=альфа.
2) Центр O вписанного в пирамиду шара будет лежать на высоте пирамиды EH (пирамида правильная). Сечение этого шара в плоскости AEB - это круг, вписанный в треугольник AEB. Радиус R этого круга равен OH. Центр этого круга лежит в точке пересечения биссектрис в треугольнике AEB. EH и AO - биссектрисы, значит, угол HAE=2*HAO. В прямоугольном треугольнике AOH:
tg(HAO) = OH/AH;
tg(альфа/2) = R/(a/2);
tg(альфа/2) = 2R/a;
R=a*tg(альфа/2)/2.
3) Радиус такого круга это и есть радиус вписанного в пирамиду шара (сечение делит и этот шар пополам, диаметральное сечение) .
Ответ: R=a*tg(альфа/2)/2.