sin 2 arccos 12 13

Ответ от Ётепан[гуру]
Пусть x = arccos(12/13). Тогда cos x = 12/13, угол x находится в первой четверти. sin x = √(1 - 144/169) = 5/13. По формуле синуса двойного угла: sin(2x) = 2 sin x cos x = 2 * (5/13) * (12/13) = 120/169.
Пусть y = arcsin(5/13). Тогда sin y = 5/13, cos y = 12/13. По формуле котангенса половинного угла: ctg(y/2) = (1 + cos y) / sin y = (1 + 12/13) / (5/13) = (25/13) / (5/13) = 5.
Пусть a = arcctg 3 (тогда tg a = 1/3) и b = arctg(-1/2) (тогда tg b = -1/2). Найдем тангенс разности: tg(a - b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a * tg b) = (1/3 + 1/2) / (1 - 1/6) = (5/6) / (5/6) = 1. Так как a ∈ (0; π/2) и b ∈ (-π/2; 0), разность a - b ∈ (0; π). Единственный угол в этом интервале с тангенсом 1 равен π/4. Следовательно, sin(a - b) = sin(π/4) = √2/2.