1 sinx cosx
Автор Faster задал вопрос в разделе Домашние задания
Решите пожалуста уравнение sinx-cosx=1 !!! и получил лучший ответ
Ответ от Алексей Попов (Океан)[гуру]
Возведём обе части уравнения в квадрат,sinx*sinx+cosx*cosx -2sinx*cosx=1Первые два слагаемых в сумме дают единицу:1-2sinx*cosx=12sinx*cosx=0sinx*cosx=0Теперь, произведение равно 0, когда один из множителей равен 0Если sin x = 0, то из уравнения получаем cos x = -1Следовательно, x = pi + 2 pi * кЕсли cos x = 0, то из уравнение получаем sin x = 1Следовательно, x = pi/2 + 2 pi * кОбщее решение есть объединение этих двух решенийх= pi +2 pi*k и х= pi/2 +*2pi*k Другой вариант решенияУравнение sin А- cos А = 1это уравнение прямой, у-х =1 проходящей через точки (-1;0), (0;1) и не имеющей других общих точек с единичным кругом. Эти две точки - и есть все решения данного уравнения:Уравнение у-х=1 - точка (- 1;0) даёт решения х= pi + 2*pi*kточка (0;1) даёт решения pi/2 + 2*pi*k
В квадрат возводим и решаем. Потом отбрасываем лишние корни (они обязательно будут)
(sinx-cosx)^2=1sin^2x-2sinxcosx+cos^2x=12sinxcosx=0x=0,x=pi/2
sin x - cos x = 11 способ:Домножим обе части уравнения на 2^(1/2)/22^(1/2)/2 * sin x - 2^(1/2)/2 * cos x = 2^(1/2)/2sin x * cos pi/4 - sin pi/4 * cos x = 2^(1/2)/2sin (x - pi/4) = 2^(1/2)/2x - pi/4 = pi/4 + 2 * pi * n или x - pi/4 = 3pi/4 + 2 * pi * nx = pi/2 + 2 * pi * n, x = pi + 2 * pi * n2 способ:Возведем обе части уравнения в квадрат:(sin x - cos x)^2 = 1^2sin^2 x - 2 * sin x * cos x + cos^2 x = 11 - 2 * sin x * cos x = 12 * sin x * cos x = 0sin x = 0 или cos x = 0Если sin x = 0, то из уравнения получаем, что cos x = -1Следовательно, x = pi + 2 * pi * nЕсли cos x = 0, то из уравнение получаем, что sin x = 1Следовательно, x = pi/2 + 2 * pi * nОтвет: x = pi/2 + 2 * pi * n, x = pi + 2 * pi * n