система неравенств

Ответ от ЗайчЕг Солнечный[гуру]
Доказательство и решение неравенств
Методы доказательства неравенств.
Решение неравенств. Равносильные неравенства.
Метод интервалов. Системы неравенств.
Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказательства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:
где a – положительное число.
1). Использование известного или ранее доказанного неравенства.
Известно, что ( a – 1 )² 0 .
2). Оценка знака разности между частями неравенства.
Рассмотрим разность между левой и правой частью:
более того, равенство имеет место только при a = 1 .
3). Доказательство от противного.
Предположим противное:
Умножая обе части неравенства на a, получим: a 2 + 1 < 2a, т. e.
a 2 + 1 – 2a < 0, или ( a – 1 ) 2 < 0, что неверно. ( Почему ? ) .
Полученное противоречие доказывает справедливость
рассматриваемого неравенства.
4). Метод неопределённого неравенства.
Неравенство называется неопределённым, если у него знак / или / ,
т. е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак,
чтобы получить справедливое неравенство.
Здесь действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.
Рассмотрим неопределённое неравенство:
Умножая обе части неравенства на a, получим: a 2 + 1 / 2a, т. e.
а 2 + 1 – 2a / 0, или ( a – 1 ) 2 / 0, но здесь мы уже знаем, как повернуть
знак / , чтобы получить верное неравенство ( Как? ). Поворачивая его
в нужном направлении по всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
получим требуемое неравенство.
Решение неравенств. Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных. Такое же определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение неравенств - это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см. параграф “Неравенства: общие сведения”). Кроме того, может быть использована замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть алгебраические ( содержащие только многочлены ) и трансцендентные ( например, логарифмические или тригонометрические ). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод, используемый часто при решении алгебраических неравенств.
Метод интервалов. Решить неравенство: ( x – 3 )( x – 5 ) < 2( x – 3 ). Здесь нельзя делить обе части неравенства на ( x – 3 ), так как мы не знаем знака этого двучлена ( он содержит неизвестное x ). Поэтому мы перенесём все члены неравенства в левую часть:
( x – 3 )( x – 5 ) – 2( x – 3 ) < 0 ,
разложим её на множители:
( x – 3 )( x – 5 – 2 ) < 0 ,
и получим: ( x – 3 )( x – 7 ) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что x = 3 и x = 7 - корни этого выражения. Поэтому вся числовая ось разделится этими корнями на следующие три интервала:
В интервале I ( x < 3 ) оба сомножителя отрицательны, следовательно, их произведение положительно; в интервале II ( 3 < x < 7 ) первый множитель ( x – 3 ) положителен, а второй ( x – 7 ) отрицателен, поэтому их произведение отрицательно; в интервале III ( x > 7 ) оба сомножителя положительны, следовательно, их произведение также положительно. Теперь остаётся выбрать интервал, в котором наше произведение отрицательно. Это интервал II, следовательно, решение неравенства: 3 < x < 7. Последнее выражение - так называемое двойное неравенство. Оно означает, что x должен быть одновременно больше 3 и меньше 7.