собственный вектор

Ответ от Коротеев Александр[гуру]
Суть в том, что при умножении матрицы на вектор получается другой вектор.
В общем случае - был вектор, направленный в одну сторону. Его домножили на матрицу. На это можно взглянуть по-другому - как на то, что к нему применили некоторое линейное преобразование, которое определяется этой матрицей. Получился другой вектор. Вобщем случае другой длины и направленный (!!) в другую сторону. (Направление - определяется направляющими косинусами или соотношением величин его (вектора) компонентов - разные способы взглянуть на одно и то же) .
А появился вопрос - есть ли для данной матрицы такие векторы, которые не будут ей повёрнуты а только максимум - длину изменят. За этим интересом стоит МАССА практических применений этого математического аппарата. Причём интересуют нетривиальные векторы - ненулевые.
Что это значит математически. Это значит, что мы умножаем вектор h на матрицу А, а получаем вектор λh - другой длины, но с тем же направлением.
Значит имеем уравнение:
Ah = λh;
Поскольку любой вектор, домноженный на единичную матрицу Е равен себе - можно написать:
Ah = λЕh;
Приводим подобные:
(A - λЕ) h = 0;
Раз мы ищем нетривиальные векторы, значит нулю должна быть равна именно скобка - матрица в ней должна быть вырождена. И надо искать значения λ при которых это происходит.
Значит ищем знакомый определитель (для трёхмерного случая) :
a11 - λ; a12; a13;
a21; a22 - λ; a 23;
a31; a32; a33 - λ;
Это получается, если явно записать матрицу Е как
1 0 0
0 1 0
0 0 1
домножить на λ и вычесть её из А
Вот получившиеся решения - λi - это и есть собственные числа.
А векторы, которые удовлетворяют уравнению Ah = λh; для этих лямбд - это собственные векторы.
Это довольно очевидные рассуждения, а так всё это вобщем-то в учебнике.
А дальше.... есть теоремы, устанавливающие когда они сущестуют и в каком количестве, что делать, если получаются кратные собственные числа и т. д. Учебник тут не перескажешь.
&gt^.^&lt