инвариантность характеристического многочлена

Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Для любой вещественной симметричной матрицы порядка n все корни её характеристического многочлена являются вещественными. Таким образом, число вещественных корней в точности равно размерности матрицы n с учетом их кратности. Это свойство неразрывно связано с инвариантностью характеристического многочлена. Он не меняется при подобных преобразованиях матрицы, то есть при замене базиса. Благодаря спектральной теореме вещественную симметричную матрицу всегда можно ортогональным преобразованием привести к диагональному виду. Поскольку характеристический многочлен инвариантен, для диагональной матрицы он строится тривиально, а его корни в точности совпадают с элементами на главной диагонали. Эти элементы и есть вещественные собственные числа исходной симметричной матрицы.