Автор Ксюня задал вопрос в разделе Домашние задания
помогите решить : sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...sqrt2)=2* cos(pi/2 в степени n+1) и получил лучший ответ
Ответ от Зелот Варскоу[активный]
База n=1: 2*cos(pi/(2)^2) = 2*cos(pi/4) = sqrt(2). Чёрт, подходит) Я уж надеялся тождество неверное) Ладно, решаем дальше: Предположим, что твоё условие соблюдается. sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...sqrt2)=2* cos(pi/(2)^(n+1)) Тогда: sqrt(2 +sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2+...sqrt2) = sqrt(2 +2cos( pi/(2)^(n+1)) = {Теперь воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos2a = cos^2(a) - sin^2(a) или 2cos^2(a) - 1. В нашем случае, cos2a = cos( pi/(2)^(n+1)), а cosa = cos( pi/(2)^(n+2))} = sqrt(2 + 4cos^2( pi/(2)^(n+2)) -2) = sqrt(4cos^2( pi/(2)^(n+2))) = 2cos( pi/(2)^(n+2)). Знак модуля не учитываем, поскольку косинус в этой четверти положительный. Значит, чтд. Я сначала думал, что пример сложный, ан нет - оказалось, это я математику забывать стал. Ах, да. . 2cos( pi/(2)^(n+2)) = 2cos( pi/(2)^((n+1)+1)) . Вот теперь чтд.
ох нах