степень с рациональным показателем

Ответ от Катька[активный]
Степень с рациональным показателем. Выражение аn определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней. Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и п справедливы равенства: am*an=am+n; am:аn=am-n (а≠0); (аm)n = аmn; (ab) n = an*bn; свойтство степеней (b≠0); а1=а; а0=1 (а≠0). Отметим также следующее свойство: Если m>n, то аm>аn при а>1 и аm<аn при 0<а<1. В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 20.3, 85/7, 4-1/2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью) , что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, n-я степень числа a в степени m на n должна быть равна аm. Действительно, если свойство (ap)q=apq выполняется, то равенство Последнее равенство означает (по определению корня n-й степени) , что число a в степени m на n должно быть корнем п-й степени из числа аm. Определение. Степенью числа а>0 с рациональным показателем r=m на n, где m — целое число, а n — натуральное (n > 1), называется число корень n-ой степени из a в степени m Итак, по определению по определению (1) Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению 0r = 0 для любого r>0. Замечание 1. Из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого положительного а и любого рационального r число ar положительно. Замечание 2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби, поскольку по определению для любого натурального k. Значение ar также не зависит от формы записи рационального числа r. В самом деле, из свойств корней следует, что степень с рациональным показателем Замечание 3. При а < 0 рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) и для а<0, то, например, значение пример равнялось бы пример, т. е. — 2. Но, с другой стороны, пример, и поэтому должно выполняться равенство пример.