сумма квадратов натуральных чисел

Ответ от Михаил Ермилов[гуру]
Проще её не вывести, а доказать. В самом деле, если S(n)=n(n+1)(2n+1)/6,
то прямо получаем S(n)-S(n-1)=n^2. Что и тр. доказать.
Вывести можно по-разному. . Ну, например, рассмотрим известную сумму усечённой суммы геом. прогрессии
S1(q,n)=1+q+q^2+...+q^n=[q^(n+1)-1]/(q-1). Величина (d/dt)q(d/dt)S1(q,n)=....при q=1 опосля всех упрощений есть
та самая сумма арифметическая. Возню со значками не привожу - не нужно ничего, кроме аккуратности.
Ещё. S2(x,n)=1+cosX+..+cosnX={cos[(n+1)x/2]}/cos(x/2). Берём 2ю производную, затем полагаем x=0.