свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
Второй вопрос.
Теорема о касательной и секущей
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC^2 = MA*MB.
(Следствие — теорема о секущих:
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA*MB = MD*ME — см. рис. 2
Доказывается элементарно: оба произведения равны квадрату длины касательной)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (см. рис. 1)

Рассмотрим треугольники MAC и MCB.
1) Угол M (AMC и CMB) у них обший
2) рассмотрим углы MCA и MBC
MBC=(1/2)AOC
MCA = 90 - OCA = 90 - C'CA = 90 - (1/2)*(180-ACO) = (1/2)AOC
(90 читай как 90 градусов)
Таким образом, углы MBC и MCA равны
Таким образом, у треугольников MAC и MCB попарно равны два угла; следовательно, они подобны.
У подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны:
Значит, MA/MC = MC/MB.
Отсюда MC^2=MA*MB.
Теорема доказана.