Автор Little Pretty задал вопрос в разделе Естественные науки
В чем отличие точная верхняя грань и получил лучший ответ
Ответ от Ђадасана[гуру]
Поставлю ударение, оно принципиально - ведь речь в этих теоремах идет о том, чем множество действительных чисел отличается от множества рациональных.
"Всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань." [раз мы рассматриваем множество действительных чисел, то и точную верхнюю грань ищем на множестве действительных] .
Пример держи.
Рассмотрим множество A таких рациональных чисел, квадраты которых строго меньше двух. Заметим, что:
- A - непустое ограниченное сверху множество (докажи сама);
- среди чисел из множества A нет максимального (можешь сама доказать);
- на множестве рациональных чисел невозможно найти такое, которое являлось бы sup(A) (можешь сама доказать);
- на множестве действительных чисел sup(A) существует и равен sqrt(2).
супремум (точная верхняя) это максимум максимумов, а самих максимумов может быть несколько
Максимума и минимума может не существовать. А точная грань (у ограниченного упорядоченного множества) всегда есть. К примеру, интервал (0, 1) не имеет максимального и минимального числа. А супремум и инфимум имеются.