центр квадрата

Ответ от JoKa Fern Lowd[гуру]
Один. Уравнения двух параллельных сторон квадрата и параллельной им прямой, проходящей через центр, можно записать в виде aX+bY=c, где a,b будут одинаковы, а значение c для центра будет средним между значениями для сторон.
Итак, для одной из сторон X+3Y=5
Для центра X+3Y=-1
значит, для противоположной стороны X+3Y=2·(-1)-5=-7
итак, уравнение противоположной стороны X+3Y+7=0.
Два. Вектор перпендикулярный стороне это вектор (1,3), пусть E — проекция точки O, на эту сторону (то есть середина этой стороны) , тогда вектор OE коллинеарен с (1,3), поэтому OE=(t,3t), откуда E(-1+t;3t)
Точка E лежит на стороне, поэтому удовлетворяет уравнению стороны
(-1+t)+3·3t-5=0 ⇒ 10t=6 ⇒ t=3/5
Тогда вектор OE(3/5;9/5)
Вектор, который получится при повороте OE на 90° будет OF(9/5;-3/5), тогда F(4/5;-3/5) будет серединой одной двух остальных сторон
Эта прямая перпендикулярна вектору (3;-1), коллинеарному OF, поэтому уравнение этой прямой имеет вид 3X-Y=const
подставляя координаты точки F в уравнение находим 3X-Y=12/5+3/5=3
Значит, уравнение этой прямой 3X-Y=3, или 3X-Y-3=0
Три. Путём, аналогичным шагу Один, находим уравнение стороны, противоположной стороне 3X-Y=3
для точки O 3X-Y=-3
значит, для противоположной стороны 3X-Y=2·(-3)-3=-9
уравнение противоположной стороны 3X-Y+9=0
чертёж простой, строим все прямые (например, выразив Y через X) и точку O, убеждаемся, что она в центре квадрата