уравнение плоскости по трем точкам

Ответ от Alex Alexes[гуру]
Предположим, что плоскость имеет уравнение ax+by+cz+d=0 (a,b,c,d мы пока не знаем) . Подставим в это уравнение вместо x,y,z координаты точки А (ведь если точка лежит на плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости) : a*1+b*0+c*0+d=0, откуда получаем a+d=0, a=-d. Теперь, точно так же, координаты точки В: a*0+b*1+c*0+d=0, значит, b=-d. И, аналогично, координаты точки С: a*0+b*0+c*1+d=0, откуда получаем c=-d. Теперь подставим полученные выражения a,b и c через d в исходное уравнение: -dx-dy-dz+d=0. Заметим, что это уравнение можно поделить на -d (оно все равно будет задавать ту же плоскость) . Получим, что уравнение плоскости, проходящей через данные нам точки это x+y+z-1=0.
Вообще, в этом примере у точек "хорошие" координаты, много нолей. В общем случае, после подстановки координат точек мы получим три уравнения с переменными a, b, c и d. Повозившись с ними, мы сможем выразить a,b и c через d, т. е, получим что-то вроде a=k*d, b=l*d, c=m*d (где k, l, m мы знаем) . Вернувшись к уравнению ax+by+cz+d=0, получим kdx+ldy+mdz+d=0, и, поделив на d (или -d, если так выйдет удобнее) , получим kx+ly+mz+1=0 (или kx+ly+mz-1=0), где значения k, l, m нам уже известны. Это и будет ответ. Желаю удачи!