условие касания прямой и окружности

Ответ от
Теорема о свойстве касательной к окружности
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, прове-
дённому в точку касания.
Дано: окр (О; ОА)
р – касательная к окружности,
А – точка касания.
Доказать: р перпендикулярна ОА.
Доказательство (методом от противного)
Предположим, что р не перпендикулярна ОА
В этом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т. е. р – секущая. Но это противоречит условию теоремы, что р - касательная к окружности. Так как получили противоречие, то предположение, что р не перпендикулярно ОА было неверным, значит, р перпендикулярна ОА. Итак, касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Ч. т. д.
Верна и теорема, обратная теореме о свойстве касательной - признак касательной.
Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Дано: окр (О; ОА), р, А принадлежит р, р перпендикулярна ОА
Доказать: р – касательная к окр (О; ОА).
Доказательство
По условию р принадлежит ОА, ОА – радиус окружности, поэтому расстояние от центра окружности до прямой р равно радиусу ОА. Следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. А это означает, что данная прямая р является касательной к окружности. Итак, если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство. Пусть a – касательная к окружности с центром O, A – точка касания (рис. 137). Докажем, что a ⊥ OA.
Допустим, что это не так. Тогда радиус OA будет наклонной к прямой a, поэтому расстояние от точки O до прямой a меньше радиуса. Из этого следует, что прямая a является секущей, а не касательной, что противоречит условию. Следовательно, прямая a перпендикулярна к радиусу OA. Теорема доказана.
Касательные к окружности
Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, проходящие через точку A. Пусть B и C – точки касания (рис. 138). Отрезки AB и AC назовем отрезками касательных, проведенными из точки A. Они обладают следующим свойством:
отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
В самом деле, по теореме о свойстве касательной ∠ABO = 90° и ∠ACO = 90°, т. е. треугольники ABO и ACO прямоугольные. Эти треугольники имеют общую гипотенузу OA и равные катеты OB и OC, поэтому они равны. Следовательно, AB = AC и ∠OAB = ∠OAC, что и требовалось доказать.
Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной (признак касательной).
Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Доказательство. По условию данный радиус (радиус OA на рис. 139) является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой a, поэтому расстояние от центра окружности до прямой a равно радиусу. Следовательно, прямая a и окружность имеют только одну общую точку, т. е. данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу