виды матриц

Ответ от Джулия[гуру]
Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.
Назовём матрицей размера (читается m на n) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида.
Если индекс i пробегает множество M, а j пробегает множество N, то элемент A(i,j) оказывается элементом матрицы, находящемся на пересечении i-той строки и j-ого столбца:
i-ая строка матрицы состоит из элементов вида A(i,j), где j пробегает всё множество N;
j-ый столбец матрицы состоит из элементов вида A(i,j), где i пробегает всё множество M.
Таким образом, матрица размера состоит в точности из
m строк (по n элементов в каждом)
и n столбцов (по m элементов в каждом) .
В соответствии с этим
каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в n-мерном координатном пространстве ;
каждый столбец матрицы — как вектор в m-мерном координатном пространстве .
Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве имеющим размерность mn. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже) ; то что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.
Если у матрицы количество строк m совпадает с количеством столбцов n, то такая матрица называется квадратной, а число m = n называется размером квадратной матрицы или её порядком.
Матричные операции
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
bij = λaij
Сложение матриц
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
cij = aij + bij
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
В одном из множителей должно быть столько же столбцов, сколько строк в другом. Если матрица A имеет размерность, B — , то размерность их произведения AB = C есть .
Ранг матрицы
Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.
Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.
Источник: Википедия