теорема о прямоугольном треугольнике
Автор Алина Полякова задал вопрос в разделе Домашние задания
Сформулируйте свойства прямоугольного треугольника. и получил лучший ответ
Ответ от Џна Милевская[активный]
рямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой.
Это значит, что прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой. По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы) . Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу. Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника. Другая особенность прямоугольного треугольника состоит в
Теорема 24. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
Данная окружность является описанной для данного треугольника АВС, а угол АСВ является вписанным в эту окружность. Из темы круг и окружность знаем, что вписанный в окружность прямой угол опирается на диаметр. Поэтому гипотенуза АВ является диаметром. Центр окружности - точка О - лежит в его середине. Отрезок ОС является радиусом, т. к. соединяет центр с точкой окружности, также является медианой треугольника АВС, т. к. соединяется его вершину С с серединой противоположной стороны АВ. Отсюда:
Теорема 24.1 Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Отметим еще два специальных вида прямоугольных треугольников: равнобедренный и пр. тр. с углами в 30° и 60°. Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет равные углы при основании (гипотенузе) . Каждый из этих углов содержит 45°. Такой треугольник получается, если рассечь квадрат его диагональю. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
Прямоугольный треугольник с углами в 30° и 60° получится, если в равностороннем треугольнике провести одну из его высот и взять какой-либо из двух равных прямоугольных треугольников, на которые она разбивает данный равносторонний треугольник. Обратно, если взять прямоугольный треугольник с углами в 30° и 60°, то, приложив к нему еще один такой же треугольник, имеющий с ним общий катет, прилежащий к углу в 30°, получим равносторонний треугольник. Из такого способа получения указанного треугольника видно, что в прямоугольном треугольнике с углами в 30° и 60° катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник АВС (см. рис. 1) и проведем высоту СН = h из вершины С его прямого угла. Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСН и ВСН; каждый из этих треугольников имеет с треугольником АВС общий острый угол и потому подобен треугольнику АВС. Все три треугольника АВС, АСН и ВСН подобны между собой. Из подобия треугольников АВС и АСН имеем СН2 = АН×ВН, т. е.
Теорема 25. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она разбивает гипотенузу.
Далее, из подобия треугольников АВС и АСН найдем АС2 = АН×ВА. Аналогичным образом найдем ВС2 = АВ×ВН.
Теорема 26. Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Запишем эти теоремы в виде формул для нашего треугольника
Теорема 27. Теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы:
a2+b2=c2
Доказательство: Запишем выражения квадратов катетов а и b треугольника:
a2=cc1, b2=cc2,
и сложим эти неравенства почленно. Получим
a2+b2= cc1+cc2= c(c1+c2)=c2,
что и требовалось доказать.
Приведенное доказательство имеет алгебраический характер: вычисление показывает, что сумма квадратов длин катетов равны квадрату длины гипотенузы. Поскольку квадрат длины отрезка геометрически можно истолковать как площадь квадрата