x2 y2 xy 3

Ответ от Ёаша[гуру]
x^2 * y' = 2 * x * y + 3
x^2 * y' - 2 * x * y = 3
1) Сначала решаем однородное уравнение:
x^2 * y' - 2 * x * y = 0
x^2 * dy/dx = 2 * x * y
x * dy/dx = 2 * y
а) y = 0 является решением уравнения
б) Пусть y <> 0, тогда разделим обе части уравнения на x * y
dy/y = 2/x dx
Проинтегрируем обе части уравнения
int dy/y = int 2/x dx
ln |y| = 2 * ln |x| + C
y = C * x^2
y = 0 входит сюда при C = 0
2) Теперь y = C(x) * x^2, решаем неоднородное уравнение
x^2 * y' - 2 * x * y = 3
y' = (C(x) * x^2)' = C'(x) * x^2 + C(x) * 2 * x
Подставляем в исходное уравнение
x^2 * (C'(x) * x^2 + 2 * x * C(x)) - 2 * x * C(x) * x^2 = 3
C'(x) * x^4 + 2 * x^3 * C(x) - 2 * x^3 * C(x) = 3
C'(x) * x^4 = 3 => C'(x) = 3/x^4
C(x) = int 3/x^4 dx = 3 * int x^(-4) dx = 3 * 1/(-4 + 1) * x^(-4 + 1) + C =
= -1/x^3 + C
Тогда
y = C(x) * x^2 = (-1/x^3 + C) * x^2 = -1/x + C * x^2
Ответ: y = -1/x + C * x^2
А ты изменница! А Саша допустил ошибку, а какую - не скажу!!!