зачем нужны комплексные числа

Ответ от Evgeny M.[гуру]
Комплексные числа образуют самую настоящую замкнутую коммутативную систему. То есть это самые полноценные числа. На этих числах выполняются любые математические операции.
Обычные действительные числа не являются замкнутыми, так как есть операции, которые определены в них, но не всегда выполняются. Например, корень квадратный из отрицательного числа не вычисляется, если Вы не знаете комплексных чисел.
Поэтому, если Вы в своих вычислениях столкнетесь с такой ситуацией, что надо извлечь квадратный корень из отрицательного числа, то Вы встанете в тупик и не будете продолжать свои вычисления дальше. А окончательный ответ в задаче может быть вполне обычный в области действительных чисел, но Вы его не найдете.
Правда в этом случае Вы можете число формально продолжать свои вычисления в которых Вы будете чисто формально держать этот непонятный объект (корень из отрицательно числа) , пока он не сократиться с каким-нибудь аналогичным объектом. Но это как раз и эквивалентно признанию существования мнимых чисел.
Такая же ситуация уже была несколько раз в математике. Например, при расширении понятия рациональных чисел до понятия действительных чисел. Рациональные числа тоже не замкнуты. Например, квадратный корень из двух не является рациональным числом. И при проведении вычислений это ставило людей в тупик. Но если не останавливаться и формально продолжать работать с такими объектами, то часто в конечном результате получается рациональный результат, а иррациональные числа не входят в конечный результат.
Поэтому люди постоянно расширяли понятие числа, чтобы не заморачиваться раздумиями, типа, а можно ли от меньшего числа отнимать большее, а можно ли делить одно число на другое, если они не делятся друг на друга, а можно ли извлекать квадратные корни из отрицательных чисел и т. п.
И это расширение понятия числа закончилось на комплексных числах. С этими числами можно делать ВСЁ!
Следующее обобщение чисел - кватернионы. Но они уже не коммутативны. От перестановки сомножителей меняется произведение.
Следующее обобщение чисел - числа Кэлли. Они еще хуже. Они не только не коммутативны, но уже и не ассоциативны, то есть произведение трех чисел Кэлли зависит от порядка скобок.
Поэтому самые универсальные числа - это комплексные числа.
Именно поэтому они и нашли такое широкое применение в физике, технике и других областях.