инвариантность характеристического многочлена

Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Сначала доказывается, что все собственные числа любой симметричной вещественной матрицы вещественны. Ax=lambda*x, умножим справа скалярно на х: (Ax,x)=(lambda*x,x); то же, слева на х: (x,Ax)=(x,lambda*x), из симметрии: (Ax,x)=(x,Ax), отсюда lambda*(x,x) =mu*(x,x), где mu есть число, сопряженное к lambda, Значит, mu=lambda, а это и означает вещественность собств. числа.Далее: у характеристич. многочлена, как у любого многочлена n-й степени, имеется ровно n корней (если каждый m-кратный корень учитывается m раз) , тогда получается, что число вещественных корней хар. многочлена симметричной вещ. матрицы равно n.