математика для чайников

Ответ от Инженер-констриктор[гуру]
Производная - это скорость: движения, старения, глупения, выздоровления, ожирения и т. д.
Начнём с функции. Так:
Функция - это любая зависимость чего-нибудь от чего-нибудь.
Например, вес портфеля зависит от количества учебников в нём.
Тяжесть похмелья по утрам зависит от объёма выпитого.
Количество волос на голове зависит от возраста.
Величина, которая зависит, называется функцией, а то, от чего она зависит, называется аргументом.
Т. е. возраст - аргумент (и довольно часто) , а количество волос на голове - функция.
Любому значению аргумента соответствует своё значение функции - так, например, в 25 лет у человека 100 тысяч волос, а в 55 лет (у того же человека) - их всего 100.
Понятно, что функция (пышность шевелюры) должна как-то изменяться при изменении её аргумента (число подаренных на 23 февраля галстуков, дезодорантов и бритв с носками) .
Волосы у человека выпадают каждый день по десятку штук.
Вот эта скорость изменения функции - минус 10 штук в день - и есть производная.
У разных людей своя собственная функция, заложенная природой, - волосы выпадают по-разному, кто-то лысеет в двадцать, а кто-то не лысеет в семьдесят, поэтому очевидно, что производная зависит от функции - у каждой функции она своя.
В математике значением производной в данной точке считается отношение изменения функции к изменению аргумента. Причём изменения аргумента должно быть как можно меньше (стремиться к нулю) .
Именно это записывается формулой:
Производная тоже может меняться в разных точках.
Например, испугался человек - и быстро облысел, или, наоборот, витаминов налопался - лишние волосы повылазили.
В первом случае производная (одной и той же функции) отрицательная (число волос убывает) и большая (выпало много) , а во втором - положительная (растут новые волосы) и маленькая (выросло мало) .
Поэтому, в принципе, производная - это тоже функция.
Кроме механического смысла (скорость) у производной есть геометрический смысл - касательная к графику функции.
Если мы нарисуем график изменения числа волос у человека во времени, то получим что-то вроде этого (по горизонтальной оси время, по вертикальной - мохнатость) :
Человек родился с каким-то количеством волос, потом они у него растут (производная положительна - количество волос увеличивается) , затем почему-то выпадают (наверное, попал под кислотный дождь) , а потом снова отрастают, а к старости уже выпадают.
Видно, что производная меняется.
Если мы проведём касательную к этому графику в какой-то точке, то получим график производной в этой точке (вернее, получим прямую, тангенс угла наклона которой численно равен значению производной в точке касания).