метод математической индукции для чайников

Ответ от Ёергей Волков[гуру]
Метод математической индукции состоит в следующем: должна быть сформированна некая цепочка утверждений (Утверждение1, Утверждение2, ..)
Пусть мы умеем доказывать, что:
1. Утверждение1 - истинно. (это - база индукции)
2. Из истинности любого из утверждений цепочки следует истинность следующего утверждения, или иначе говоря, из того что Утверждение (k) - истинно, следует, что Утверждение (k+1) также истинно (это - индукционный шаг)
Теперь сопоставим пункты 1 и 2: согласно п. 1 Утверждение1 истинно, но тогда согласно п. 2 Утверждение2 также истинно, но тогда согласно п. 2 Утверждение3 тоже истинно и т. д. , а значит истинны все утверждения цепочки.
Пример:
Доказать, что 1+3+...+(2n-1) = n^2.
Одно из возм. доказательств - с помощью ММИ:
1. База индукции: при n=1: 1=1^2 - верно. (Это то самое Утверждение1) База доказана.
2. Шаг индукции: Пусть равенство верно при n=k (Утверждениеk). Докажем, что равенство верно и при n=k+1 (Утверждение (k+1), k - произвольное натуральное число) :
Т. к. мы предположили, что 1+3+...+(2k-1)=k^2, то 1+3+...(2k-1)+(2(k+1)-1)=k^2+2k+1=(k+1)^2. Шаг индукции доказан.
Следовательно, равенство доказано при всех натуральных n с помощью ММИ