погрешность суммы и разности

Ответ от Евгения Гопцарь[гуру]
1.4. Погрешности приближенных вычислений
Тема 1. Введение. Приближенные числа и действия над ними. Оценка точности вычислений
1.4. Погрешности приближенных вычислений
Понятие о погрешности приближения
Естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. Иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. Причем, в математике различают относительную и абсолютную погрешность.
Определение
Абсолютной погрешностью (или, просто, погрешностью) приближенного числа называют разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее) .
Пример
При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. А при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.
Определение
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому (точному) числу.
Пример
При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0,01523 или приближенно 3/200 ≈ 1,5%.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Например, продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая – 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 ≈ 1,4%.
Определение
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей) , называется предельной абсолютной погрешностью.
Определение
Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей) называется предельной относительной погрешностью.
Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ – "дельта". А предельная относительная погрешность – греческой буквой δ ("дельта малая"). Если приближенное число обозначить буквой α, то δ = Δ/ α.
В примере с арбузом за предельную абсолютную погрешность можно взять Δ = 50г, а за предельную относительную – δ = 1,4%.
Погрешность действий над приближенными числами
Предельная абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
Пример 1
Пусть даны точные числа и их приближенные значения: 2,463 ≈ 2,46 и 3,208 ≈ 3,21.
Их абсолютные погрешности приближений соответственно равны: 2,463-2,46 = 0,003 и 3,21-3,208 = 0,002.
Рассмотрим сумму приближенных чисел – 2,46+3,21 = 5,67.
Предельная погрешность суммы равна 0,003+0,002 = 0,005.
Если проверить, то получится, что точная сумма будет 2,463+3,208 = 5,671.
Следовательно, точно вычисленная погрешность приближения будет: 5,671-5,67 = 0,001. Действительно 0,001 ≤ 0,005.
Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.
Пример 2
Пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя равна 0,4%, а второго 0,5%. тогда предельная относительная погрешность произведения 50*20 = 1000 приближенно равна 0,9%.
Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.
Таким образом, легко заметить, что при приближенных вычислениях погрешность может накапливаться!
Источник: