проекция вектора на плоскость

Ответ от Hippie[гуру]
1. Ответ: (–2,4,–2).
Скалярное произведение векторов равно произведению длины одного из этих векторов на (ориентированную) длину проекции второго вектора на него.
Скалярное произведение (1,5,–3) на (1,–2,1) равно 1×1+5×(–2)+(–3) ×1 = –12.
Длина вектора (1,–2,1) равна sqrt(1^2+(–2)^2+1^2) = sqrt(6).
Следовательно, длина ориентированной проекции вектора (1,5,–3) на вектор (1,–2,1) равна –12/sqrt(6) = –2*sqrt(6).
Таким образом, искомая проекция равна
((–2*sqrt(6))/(sqrt(6))*(1,–2,1) = (–2,4,–2).
2. Ответ: (3,8,–6).
Ортопроекция вектора с на плоскость < a,b > равна разности между вектором с и его ортопроекция на ортогональное дополнение к плоскости < a,b >.
Ортогональное дополнение к плоскости < a,b > это прямая с направляющим вектором n, равным векторному произведению векторов a и b, т. е. n = (–2,–3,–5).
Проекцию вектора с на n ищем так же как в первом пункте.
Скалярное произведение (5,11,–1) на (–2,–3,–5) равно 5×(–2)+11×(–3)+(–1) ×(–5) = –38.
Длина вектора (–2,–3,–5) равна sqrt((–2)^2+(–3)^2+(–5)^2) = sqrt(38).
Следовательно, длина ориентированной проекции вектора (5,11,–1) на вектор (–2,–3,–5) равна –38/sqrt(38) = –sqrt(38).
Таким образом, проекция на ортогональное дополнение равна
((–sqrt(38))/(sqrt(38))*(–2,–3,–5) = (2,3,5).
А проекция вектора с на плоскость < a,b > равна
(5,11,–1)–(2,3,5) = (3,8,–6).
Источник: Если что-нибудь непонятно ---пишите в комментарии.