теорема косинусов

Ответ от Ксюша[гуру]
Теорема косинусов
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теорема косинусов — одна из теорем геометрии, гласит:
Квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними.
a2 = b2 + c2 − 2bccosα.
[править]
Доказательство
Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:
AD = bcosα,
DB = c − bcosα
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:
b2 − (bcosα)2 = a2 − (c − bcosα)2
или
a2 = b2 + c2 − 2bccosα.
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания) , полностью аналогичен рассмотренному.
Выражения для сторон b и c:
b2 = a2 + c2 − 2accosβ
c2 = a2 + b2 − 2abcosγ.