теоремы синусов и косинусов
Автор Nusia задал вопрос в разделе Домашние задания
подскажите пож... теорему синусов и теорему косинусов.... и получил лучший ответ
Ответ от Джулай[гуру]
Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α противолежащему стороне a справедливо нижеуказанное соотношение
a2 = b2 + c2 − 2bccosα.
Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
Для произвольного треугольника
asinalpha = bsinbeta = сsingamma= 2R,
где a, b, c — стороны треугольника, α,β,γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной окружности треугольника.
В учебнике " Алгебра" ищи.
Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов
Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
для первой ссылка
для второй
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство. Дан ?АВС. Рассмотрим векторы , ,(рис. 13). Очевидно , .Возведем это равенство скалярно в квадрат:
Используя теперь определение скалярного произведения векторов, имеем
, где , ,- длины сторон ?АВС, <A – угол между сторонами АВ и АС. Теорема доказана.
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство. Рассмотрим ?АВС со сторонами a, b, c и противолежащими углами ?, ?, ?. Докажем, что
.
Из вершины С треугольника АВС опустим высоту CD. Из прямоугольного ?АСD, если ? – острый угол, получаем. Если ? – тупой угол, то .
Аналогично из прямоугольного ?BCD получаем. Таким образом, , т. е.. Опуская высоту в треугольнике АВС из вершины А, аналогично имеем. Итак, .
Очевидно, что эта формула справедлива в случае прямоугольного треугольника АВС.