теорема остроградского гаусса

Ответ от Андрей Степанов[гуру]
Согласно принципу суперпозиции, в любой точке за или перед плоскостями напряженность электрического поля будет суперпозицией напряженностей создаваемых каждой пластинкой.
Таким образом нам необходимо найти напряженность электрического поля, создаваемую каждой пластинкой в данной точке.
Тут по большому счету надо пользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме. Но по сути нужное нам уравнение практически совпадает с теоремой Остроградского-Гаусса. А именно:
Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.
Если мы возьмем бесконечную пластину, заряженную с поверхностной плотностью q и точку А на расстоянии r от этой поверхности. Разобьем пластину на бесконечное множество квадратиков площади ds. Их заряд будет равен qds. Проведем перпендикуляр к пластинке через точку А. Пусть это будет ось Ох. А точку пересечения ее с пластинкой назовем точкой О - началом координат. Вдоль пластинки, соответственно, проведем ось Оу. Пока рассмотрим двумерный случай - т. е. пластинка наша превращается в линию. Теперь вспомним, что напряженность электрического поля величина векторная. Возьмем два квадратика, расположенные симметрично, относительно точки О, т. е. имеющие координаты у и -у по оси ординат. В точке А эти квадратики будут создавать электрическое поле. При этом векторы напряженности для каждого квадратика будут равны, однако их ордината будет противоположна. Таким образом при сложении этих векторов ордината суммарного будет равна 0, т. е. он будет направлен вдоль оси Ох. На оси Оу для каждого квадратика можно найти симметричный ему, так что суммарный вектор напряженности будет направлен перпендикулярно оси Оу. Но ведь ось Оу мы можем проводить по-разному - т. е. мы можем провести бесконечное множество осей Оу перпендикулярных нашей оси Ох и все эти оси в своей совокупности составят нашу бесконечную пластинку. Таким образом заключаем, что вектор напряженности электрического поля, создаваемый каждой пластинкой будет перпендикулярен плоскости этой пластинки.
Вернемся к теореме Остроградского-Гаусса. Нарисуем циллиндр, проходящий через пластинку перпендикулярно ей, так что центр одного основания циллиндра находится в точке А, а центр другого в точке А', симметричной точке А относительно пластинки. Т. е. осью циллиндра будет ось Ох, а пластинка делит его пополам. Пусть площадь основания циллиндра равна S. Тогда поток вектора напряженности через это основание будет равен ES. Но так как основания у циллиндра 2 то суммарный поток будет равен 2ES (потока через боковую поверхность циллиндра не будет, т. к. она перпендикулярна пластинке, т. е. параллельна вектору E. Дивергенция вектора E равна заряду умноженному на 4 пи. Т. е. , применяя теорему Остроградского-Гаусса (Интеграл от дивергенции векторного поля по некоторому объему равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую этот объем) , получаем, что поток векторного поля:
2ES = 4пQ
где Q - суммарный заряд пластинки, отсеченной циллиндром. Т. к. площадь основания циллиндра равна S, то Q = qS
Сокращая S получаем:
E = 2пq
А теперь берете каждую точку - слева от пластин, справа и между ними, и вычисляете для каждой пластины напряженность в этой точке. А потом складываете их. Но не забудьте о направлении вектора напряженности! ! Очевидно, что если заряд пластины положителен он будет направлен от пластины, а если отрицателен - то к ней. Особенно внимательно следите, когда будете считать поле между пластинками!
А кулоновское взаимодействие пластинок тут не при чем.
Успехов!