Автор Angel Light задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Тригонометрический ряд Фурье и получил лучший ответ
Ответ от Коротеев Александр[гуру]
А ты почитай про него: ссылка
Разложение в ряд Фурье (тригонометрический) - это фактически разложение сигнала по базисным функциям. И ничего страшного, что количество базисных функций может быть лишь счётным, а не конечным. Коэффициенты в конце концов убывают с ростом n, поэтому можно начиная с некоторого их выкинуть, оставив наперёд заданную точность.
Базисные функции - 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ..sin nx, cos nx, ..и т. д.
1 - для единообразия - т. к. она равна cos 0x. A sin 0x = 0, очевидно.
В принципе можно было бы использовать не 1, а 1/2 и тогда бы делить на 2 не потребовалось. Но так условились - использовать 1.
Как раскладываются вектора по базису в геометрии (аналитической) ? С помощью операции скалярного умножения. Их умножают на базисные векторы и записывают в виде суммы этих базисных векторов с множителями - скалярными произведениями. Фактически записывают сумму проекций. Ясное дело, что должна присутствовать номировка. В геометрии обычно нормируют базисные векторы - чтобы их скалярное произведение на себя было равно 1.
Здесь же скалярным умножением выступает операция интегрального преобразования с некоторым ядром. Иными словами - интеграл от произведения раскладываемой функции и базисной функцией - с пределами интегрирования по периоду этой базисной функции.
Вот возьми и посчитай скалярные произведения этих базисных функций самих на себя.
Т. е. посчитай интегралы:
∫ sin² x dx, ∫ cos² x dx;,
∫ sin² nx dx, ∫ cos² nx dx;
Ну и ∫ 1 dx
Всё в пределах от -π до π. Интегралы элементарные.
Увидишь, какие получаются числа. А надо получить 1 - условие нормировки. Поэтому их ещё домножают на коэффициенты.
Посчитаешь - и станет что на что и почему надо делить.
Есть, конечно, элемент условности. Можно было бы поделить на 2 уже в самом определении a₀.
Что же коэффициент представляет?
Все остальные функции - синусы и косинусы - колеблются и их среднее значение равно 0.
А если нам дали функцию f(x), у которой есть какая-то постоянная составляющая - эта составляющая и войдёт в a₀/2. Все остальные коэффициенты отразят переменные составляющие.
>^.^<