разложение функции в ряд фурье по синусам

Ответ от Evgeny M.[гуру]
.
Ряд Фурье, это разложение функции по набору ортонормированных функций.
Это аналог разложения вектора по ортонормированному базису векторов. В пространстве N измерений мы любой N-мерный вектор можем разложить по набору единичных N векторов, которые перпендикулярны друг другу.
Точно также функцию можно разложить по бесконечному набору таких функций, норма которых равна единице, и скалярные произведения двух разных таких функций равны нулю.
В качестве такого бесконечного набора ортонормированных функций можно взять самые разные наборы. Например, функции Бесселя, полиномы Лежандра, полиномы Чебышева, полиномы Лягера, полиномы Эрмита и т. д. Для разных целей, областей определения функции и характера функции берется тот или иной набор.
Классическим преобразованием Фурье называется разложение по синусам и косинусам. Набор синусов и косинусов очень удобен, когда разлагаемая функция периодическая. Поэтому периодические функции разлагаются в ряд Фурье по косинусам и синусам.
Преобразование Фурье, это процесс нахождения коэффициентов данного разложения. Это аналог того, как ищутся координаты вектора в обычном пространстве. Берется скалярное произведение вектора на единичный вектор координатной оси. Для функций всё точно также. Берется аналог скалярного произведения функции на функцию из ортонормируемого набора.
Чаще всего это интеграл от произведения разлагаемой функции и базисной функции по некоторому отрезку. Например, именно так ищут коэффициенты разложения в случае классического Фурье.
.
А теперь самое интересное. Зачем это нужно?
Функциональное пространство функций является бесконечномерным. Значит в ряду Фурье бесконечное число слагаемых.
Поэтому, чтобы такая сумма не была равна бесконечности, нужно, чтобы коэффициенты разложения достаточно быстро убывали. Только тогда ряд Фурье будет сходиться.
А это значит, что отрубив бесконечный конец этого ряда Фурье и оставив только несколько первых слагаемых, мы получим хорошее приближение этой функции с помощью конечной суммы простых слагаемых. Простые слагаемые в том смысле, что их, например, легко посчитать на компьютере.
Например, в классическом разложении Фурье периодической функции мы приближенно заменяем функцию на конечную сумму синусов и косинусов. Значения синусов и косинусов очень быстро считаются на любом компьютере.
Evgeny M.
Высший разум
(881006)
Дополню, что это нашло огромное применение в физике.
Классическое преобразование Фурье используется для спектрального анализа физических процессов.
В квантовой механике используются обобщенные преобразования Фурье волновой функции, чтобы найти квантовые числа и набор наблюдаемых значений в каком-нибудь потенциале.