вычисление наименьшего значения функции на отрезке

Ответ от Rafael ahmetov[гуру]
Когда нужно найти наименьшее (или наибольшее) значение функции на заданном отрезке, нужно определить значения этой функции на границах отрезка. Кроме того, на заданном отрезке функция может иметь минимум (или максимум, в общем случае - экстремум). Поэтому нужно определить, имеет ли функция экстремум на заданном отрезке. Для этого нужно найти ПЕРВУЮ производную заданной функции, приравнять ее нулю и найти значения аргумента (х), при которых ПЕРВАЯ производная равна нулю. При этих значениях функция имеет экстремум. Значение его вычисляется подстановкой найденного значения аргумента в выражение функции. Чтобы узнать, какой именно, т.е минимум или максимум, есть два способа.
1) Нужно вычислить значение ВТОРОЙ производной в этих точках. В принципе важно не само значение, а только его знак. Если в заданной точке ВТОРАЯ производная положительна, то в этой точке минимум, если ВТОРАЯ производная отрицательна, то в этой точке максимум.
2) Нужно определить знаки ПЕРВОЙ производной чуть левее проверяемой точки, и чуть правее. Если ПЕРВАЯ производная в данной точке меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке - минимум, если наоборот, с плюса на минус, то в этой точке максимум. Но при этом нужно помнить, что функция может иметь несколько экстремумов, поэтому, при выборе проверочных точек, нужно следить, чтобы не выйти за значение другого экстремума.
Каким именно способом определять, зависит от вида функции (и ее ПЕРВОЙ и ВТОРОЙ производных). Иногда удобнее оказывается первый способ, иногда второй.
После того, как найдены экстремумы в пределах заданного отрезка и значения функции на границах отрезка, из полученных значений выбирается то, что требуется найти, т.е наименьшее или наибольшее значение.
ПЕРВАЯ ЗАДАЧА: у=х^5/15-х^3 на отрезке [0;4].
Находим значения функции при х=0 и х=4, записывается так: у(0), у(4).
у(0)=0, у(4)=4^5/15-4^3=4^3*(16/15-1)=4^3/15=(4 + 4/15).
Находим первую производную: y'=5*x^4/15-3*x^2=x^4/3-3*x^2.
Решаем уравнение: x^4/3-3*x^2=0, x^2*(x^2/3-3)=0. Получаем 3 решения: х=0, х=3 и х=-3. В заданные отрезок [0;4] входят две точки: х=0 и х=3. у(0) у нас уже известно. у(3)=3^5/15-3^3=3^3*(9/15-1)=-27*6/15=-54/5=-10,8.
Из трех значений у(0)=0, у(3)=-10,8 и у(4)=(4 + 4/15) минимальное равно -10,8, и задача уже решена.
Но здесь есть один интересный момент, поэтому продолжу. Чтобы определить, минимум или максимум при х=0 и х=3 применим первый способ. Найдем ВТОРУЮ производную: y"=4*x^3/3-6*x. у"(3)=36-18=18, знак (+), значит при х=3 функция имеет минимум. y"(0)=0. Здесь знак не определен, поэтому придется применить второй способ. Выберем проверочные значения х=-1 и х=1. y'(-1)=1/3-3=-(2+2/3), y'(1)=1/3-3=-(2+2/3).
Опять "неудача". Знак первой производной и левее и правее точки х=0 отрицательный. Это значит, что в точке х=0 НЕТ НИ МИНИМУМА, НИ МАКСИМУМА. Так тоже бывает, например как при прохождении через точку х=0 функции у=-x^3. Эта функция на всей числовой оси только убывает, но в точке х=0 касательная к ней горизонтальна.
Вторая задача: f(x)=3(5x-4)^2-(5x-4)^3 при |2х-3| < = 1.
Здесь выражением |2х-3|<=1 заданы границы отрезка. Нужно просто решить это неравенство.
При 2*x-3 >= 0, т.е. при х >= 1,5 получаем неравенство 2*х-3 <= 1, откуда х <= 2,
с учетом х >= 1,5 получаем: 1,5 <= х <= 2.
При 2*x-3 < 0, т.е. при х < 1,5 получаем неравенство 3-2*х <= 1, откуда 2 <= 2*х, и х >= 1,
с учетом х < 1,5 получаем: 1 <= х < 1,5.
Объединяя, получаем 1 <= х <= 2, т.е. отрезок [1; 2].
Для удобства, можно сделать замену 5x-4=t, только надо пересчитать границы:
Нижняя 5*1-4=1, верхняя 5*2-4=6.
Получаем более простое выражение: f(t)=3*t^2-t^3, на отрезке [1; 6].
f(1)=3*1^2-1^3=2, f(6)=3*6^2-6^3=-108.
Находим ПЕРВУЮ производную: f'(t)=6*t-3*t^2, решаем уравнение 6*t-3*t^2=0, получаем t=0 и t=2. Значение t=2 попадает в исследуемый интервал. Находим ВТОРУЮ производную при t-2: f"(2)=6-6*2=-6, знак (-), значит при t=2 максимум, равный f(2)=3*2^2-2^3=12-8=4. Ответ