вывод формул

Ответ от Александр Титов[гуру]
Вывод одной переменной через другую - не всегда дело простое. тут нужно прибегать иногда к особым хитростям и тонкостям. Простые формулы перевоспроизводятся в лоб, над более сложными надо подумать.
Вот, например,
x - y^2 = z
Просто переносим y^2 направо с противоположным знаком и всё:
x = z + y^2
Однозначное выражение.
В таком же случае
x/y = z
Умножаем на у
x = zy
Но: мы не должны забывать, что у не может быть равен нулю. В самом деле, выражение х/у не имеет смысла при у = 0, а выражение zy имеет. Так что в условии x = zy надо дополнительно потребовать, чтобы у не равнялось нулю
В случае же у/х = z, можно сначала умножить обе части равенства на х, получив у = zx. После чего, разделить уже на z, чтобы справа остался х. Так что будет y/z = x или же x = y/x. Тут опять-таки дополнительные условия: переменные x и z не должны равняться нулю, чтобы как исходное, так и конечное равенство имело смысл.
Вообще, при преобразовании формул, применяют следующие основные правила:
1. Слагаемые (числа или переменные) можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком. (То есть из равенства x+y = z следует, например, равенство y = z-x или равенство x = z-y). Отсюда, в частности, следует то, что левую и правую части формулы можно менять местами.
2. Обе части равенства можно умножать и делить на одно и то же, НЕ РАВНОЕ НУЛЮ (!!!) число (или переменную) .
Пример я привёл выше.
В конце концов, формулы можно преобразовать так, чтобы одна из переменных выражалась явно через все остальные, то есть так, чтобы слева была только одна буква, а справа этой буквы не содержалось бы.
Но есть и более сложные случаи, например, пусть требуется из равенства y^2 - 3xy + 2x^2 = 0 выразить каждую из переменных через другую. Это - сложная задача и она сопряжена с решением квадратного уравнения. Пусть мы хотим, например, выразить переменную у черех переменную х. Алгоритм такой. Вначале, мы предполагаем, что х не равно нулю. Значит, можно разделить обе части равенства на х^2 и получить, таким образом, равенство (y/x)^2 - 3(y/x) + 2. Далее введём новую переменную t = y/x, в результате чего получим квадратное уравнение t^2 - 3t + 2 = 0 относительно новой переменной t. Это уравнение легко решается, его корни суть t =1 и t = 2. Возвращаясь к старым обозначениям, вспоминаем, что t = y/x. Значит y = tx. А поскольку, t = 1 или t = 2, то имеем два уравнения y = x или y = 2x. Здесь уже переменная у неоднозначно выражается через переменную х, поэтому в ответе так и надо записать совокупность уравнений у = х и у = 2х.
Задача была решена неполно. Почему? Дело в том, что мы предположили, что х не равняется нулю, это и позволило нам разделить уравнение на х^2. Как же быть с нулём? Надо проверить, верны ли одновременно исходное равенство и полученная совокупность при х = 0? Проверяем: Если х = 0, то исходное равенство y^2 - 3xy + 2x^2 = 0 принимает вид y^2 = 0, что возможно только в случае у = 0. В то же время, исходная совокупность у = х и у = 2х при х = 0, обращается в совокупность у = 0 и у = 0, т. е. , фактически в уравнение у = 0. Значит оба эти равенства верны одновременно, т. е. , окончательный вывод формулы завершён.
Итак, ответ (окончательный !!!): [знак совокупности, квадратная скобка] : у = х ИЛИ у = 2х.
То есть, если исходное равенство при конкретных х и у верны, то при тех же у и х верна и выведенная совокупность, выражающая у через х. И наоборот, если верна совокупность, верно и исходное равенство.
Так же точно можно выразить и переменную х через у.
Вообще же, для того, чтобы уметь выводить одну переменную через другую, необходимо знать два опорных основных правила (см. выше) . Кроме того, в некоторых сложных случаях, иногда требуются дополнительные умения, а также способности применять эти умения к конкретной задаче вывода одной переменной через другой, что и иллюстрирует приведённый сложный пример.
Вот, пожалуй, и всё.
Удачи!