x 2 1 cosx

Ответ от Phobos[гуру]
Cosx - Cos2x - Sin2x = 1 Представим: Cos2x = Cos²x - Sin²x Sin2x = 2Sinx*Cosx 1 = Sin²x + Cos²x Получим: Cosx - Cos²x + Sin²x - 2Sin*cosx - Sin²x - Cos²x = 0 -2Cos²x - 2Sinx*Cosx + Cosx = 0 |*(-1) 2Cos²x + 2Sinx*Cosx - Cosx = 0 Вынесем Cosx за скобку, получим: Cosx(2Cosx + 2Sinx - 1) = 0 Cosx = 0 или 2Cosx + 2Sinx - 1 = 0 1) Cosx = 0 x = ±π/2 + 2πn, n ∈ Z 2) 2Cosx + 2Sinx - 1 = 0 Преобразуем Cosx и Sinx по формуле n-ого угла аргумента, а 1 по основному тригоном. тождеству, получим: 2(Cos²(x/2) - Sin²(x/2)) + 2(2Sin(x/2)*Cos(x/2)) - Sin²(x/2) - Cos²(x/2) = 0 Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: 2Cos²(x/2) - 2Sin²(x/2) + 4Sin(x/2)*Cos(x/2) - Sin²(x/2) - Cos²(x/2) = 0 Cos²(x/2) + 4Sin(x/2)*Cos(x/2) - 3Sin²(x/2) = 0 / Cos²(x/2) 1 + 4tg(x/2) - 3tg²(x/2) = 0 |*(-1) 3tg²(x/2) - 4tg(x/2) - 1 = 0 Замена: tg(x/2) = y 3y² - 4y - 1 = 0 D = 16 - 4*3*(-1) = 28 y₁ = (4 + √28) / 6 = (4 + 2√7) / 6 = (2(2 + √7)) / 6 = (2 + √7) / 3 y₂ = (2 - √7) / 3 Вернёмся к замене: tg(x/2) = (2 + √7) / 3 x/2 = acctg((2 + √7) / 3) x = 2arctg((2 + √7) / 3) + πn, n ∈ Z tg(x/2) = (2 - √7) / 3 x = 2arctg((2 - √7) / 3) + πn, n ∈ Z Ответ: x₁ = 2arctg((2 + √7) / 3) + πn, n ∈ Z x₂ = 2arctg((2 - √7) / 3) + πn, n ∈ Z x₃ = ±π/2 + 2πn, n ∈ Z А вот как подставить tgx и проверить, входит ли х в диапазон - не знаю...