y 2e

Ответ от Андрей Степанов[гуру]
Это линейное неоднородное уравнение второй степени. Решается оно так:
Сначала решаем линейное однородное уравнение:
y'' - y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 1 = 0
Дискриминант этого уравнения больше 0. Корни уравнения: k1 = 1; k2 = -1 - различны. В этом случае решение имеет вид:
y(x) = C1e^x + C2e^-x
Мы получили общее решение однородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Т. к. справа в уравнении стоит экспонента будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде:
y = Cxe^x
Найдем производные:
y' = C*e^x + Cxe^x
y'' = C*e^x + C*e^x + Cxe^x = 2Ce^x + Cxe^x
подставим
2Ce^x + Cxe^x - Cxe^x = 2e^x
2Сe^x = 2e^x
С = 1
Итого частное решение:
y = xe^x
Итого общее решение неоднородного уравнения:
y = C1e^x + C2e^-x + xe^x