замена переменных

Ответ от Михаил Ермилов[гуру]
У студента высказан здравый принцип. Я как преподаватель, добавлю, что вообще в математике любые замены преследуют одну общую цель - упрощения исходных выражений.
На самом деле всеобщего правила поиска хороших замен не известно; это искусство, и надо прямо об этом сказать. . Могу в этом плане предложить чисто эмпирическое собственное правило. Оно нередко срабатывает, хотя, ес-нно, не всегда. Итак: если в подынтегральную ф-цию входит сложная функция, т. е. ф-ция от другой ф-ции f(g(x)), то всегда можно попробовать g(x) в качестве новой переменной. Пример:
I=Int[cosX/(3+4sinX)^5]dX. t=3+4sinX, dt=4cosXdX -> cosXdX=dt/4 -> I=1/4*Int(dt/t^5)
Другая эмпирика такая. Попробовать замену x=h(t), где ф-ция h(t) выбирается такая, что приводит к упрощениям. Типичный случай - допустим, в подынт. ф-ции присутствует корень sqrt(a^2-x^2). Замена x=a*sin t превращает этот корень в a*cos t.